積分の計算

∫(0→∞) x^(2m)dx/(ax^2+c)^n （ただし、a>0,c>0,n>m+1）を積分せよという問題です。
∫(0→∞) dx/(x^2+a^2)^n=(2n-3)!!π/{2(2n-2)!!a^(2n-1)}
（!!はsemifactorialで n!!=n(n-2)(n-4)…2or1の意味）を既知とします。
ヒントに、まずn=0と置いたものを求め、その後n=m+1 とおくと何が起こるか？とだけあります。
前半は簡単なのですが、後半で分子のx^(2m) の形にもっていく方法がなかなかわかりません。
よろしくお教えください。

質問者からの補足コメント

• 重要なヒントを忘れておりました。a について微分してから n=m+1 とおくということでした。

    補足日時：2019/12/07 13:36

• 「n=0 とおく」とあるのは、「m=0とおく」の間違いです。何度もすみません。

    補足日時：2019/12/07 15:15

• ご回答いただき、ありがとうございます。
  おおせの通りやってみようとしました。
  まず n=0 のとき、
  ∫(0→∞) dx/(ax^2+c)^n={(2n-3)!!a^(n-1)π}/{2(2n-2)!!c^(2n-1)}
  となります。両辺をaで微分して整理した結果は、
  ∫(0→∞) x^2dx/(ax^2+c)^(n+1)=-{(n-1)(2n-3)!!a^(n-2)π}/{2n(2n-2)!!c^(2n-1)}
  となりました。
  上式で n=m+1 と置いたものの左辺を I(m) とおいて、部分積分を行うということですが、
  最初の質問にもあるとおり、分子の x^2 がある関係で I(m+1) の式の形は出てこないと思います。
  どこか間違っているでしょうか。教えてください。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/12/09 18:33

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/07 20:30

1.

∫(0→∞) dx/(x^2+a^2)^n=(2n-3)!!π/{2(2n-2)!!a^(2n-1)}
は誤りだが、この式を使う。nが偶数の場合のみ（上の積分はcosに変換できるので、
下記が使える）。一般的には、nを偶奇に分けて書けば本質は変わらない。
https://mathtrain.jp/int_sinnx

2.
与式の積分をI(m,n)とする。
∫xdx/(ax²+c)ⁿ={-1/2a(n-1)}/(ax²+c)⁽ⁿ⁻¹⁾
を使って、部分積分する。

I(m,n)=[x^(2m-1)(-1/{2a(n-1)(ax²+c)⁽ⁿ⁻¹⁾}][∞,0]+{(2m-1)/2a(n-1)}I(m-1,n-1)
条件により、2m-1<2(n-1)なので、右辺第一項は0となり
I(m,n)={(2m-1)/2a(n-1)}I(m-1,n-1)
帰納的に
I(m,n)={(2m-1)!!/(2a)^m}/{(n-1)・・・(n-m)}I(0,n-m)
={(2m-1)!!/(2a)^m}{(n-m-1)!/n!}I(0,n-m)・・・・・①

1.項で述べた注意により、(n-m)は偶数とする。

I(0,p)=∫[0,∞] dx/(ax²+c)^p=(1/a^p)∫[0,∞] dx/(x²+c/a)^p
=(1/a^p)(π/2)(2p-3)!!/{(2p-2)!!(c/a)^(2p-1)/2}
=(1/√a){1/c^(2p-1)/2}(π/2)(2p-3)!!/(2p-2)!!

したがって、
I(0,n-m)=(1/√a){1/c^(2(n-m)-1)/2}(π/2)(2(n-m)-3)!!/(2(n-m)-2)!!・・・・➁

①➁から積分の結果がわかる。複雑さと表示の制限から、計算はここまでとする。

この回答へのお礼

ご回答をいただきありがとうございます。
分子の x^(2m) を x^(2m-1)x として部分積分を行えばよかったのですね。
問題文のヒントにこだわってしまいました。
なお、教えていただきながら恐縮ですが、既知とした積分の結果は正しいものです。
また、①の分母にある n! は (n-1)! ですね。
そして、②を①に代入して整理すると最終的な結果として、
{(2n-1)!!(2n-2m-3)!!π}/{2(2n-2)!!a^(m)c^(n-m-1)√(ac)}
となることを確認しました。
それにしても、問題文のヒントは一体何だったのでしょう？

お礼日時：2019/12/08 14:57

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/12/10 14:26

<まず n=0 のとき、

∫(0→∞) dx/(ax^2+c)^n={(2n-3)!!a^(n-1)π}/{2(2n-2)!!c^(2n-1)}
となります。両辺をaで微分して整理した結果は、
∫(0→∞) x^2dx/(ax^2+c)^(n+1)=-{(n-1)(2n-3)!!a^(n-2)π}/{2n(2n-2)!!c^(2n-1)}
となりました。>

そのままつづけて積分記号の中でもうｍ―1回ａで微分してください。
つまり
最初の式からｍ回続けてａで微分すれば積分記号の中の分子のｘのべき数は
2ｍになり分母の(ax^2+c)のそれはｎ＋ｍになります。
そこでｎのかわりにｎ-ｍとすれば問題の被積分関数がでます。

＜上式で n=m+1 と置いたものの左辺を I(m) とおいて、部分積分を行うということですが、
最初の質問にもあるとおり、分子の x^2 がある関係で I(m+1) の式の形は出てこないと思います。＞

おっしゃる通りです。実は僕はｎ＝ｍ＋1につられて問題文の積分式で
ｎ＝ｍ＋1とする、つまり
I(m) ＝∫(0→∞) x^(2m)dx/(ax^2+c)^(ｍ＋1)を考えたのです。
これだとこの式を部分積分して例の漸化式が出てきて
I(m)をI(0)について解いたのち、両辺をさらにｎ-(ｍ＋1)回ｃで微分しても
いけると考えました。
それでも良いと思うのですが、このやりかたはよく考えるとヒントにそった
やりかたでなく不適切でした、すみません。

でも、結局n=m+1とおく意味がも一つ釈然としません。
あと今の説明は被積分関数の話だけでその他の部分の細かい計算チェック
は行ってません。お気づきの点あればまたおたずねください。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/08 17:53

∫(0→∞) dx/(x^2+a^2)^n=(2n-3)!!π/{2(2n-2)!!a^(2n-1)} の積分は勘違いでした。

>①の分母にある n! は (n-1)! ですね。<
そうでした。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/12/08 15:14

そのｎ＝ｍ＋1とおいた積分をI(m)とおけば

I(m)を部分積分して漸化式I(m)＝{2ａ(ｍ＋1)/(2ｍ＋1)}I(m＋1)がでる。
これよりｍ＝0から出発してI(m)をI(0)であらわして
両辺を前半のように何回か微分すればよいでしょう。