No.3ベストアンサー
- 回答日時:
あの説明でよくわかりませんか... さて、どうしたものかな。
教科書を先頭から読みなおしたほうがいいような気もするけど...
足し算と掛け算がほぼ普通に行える環境を「環」といいます。
環の正確な定義は、教科書を見てください。
環は、やや一般化されているので、「ほぼ普通に」とはいっても
特に掛け算の性質に整数や実数とは異なる部分があります。
そのひとつが「零因子」の存在です。
それ自体は零ではないけれど、零ではない元との積が零になる
ような元を零因子と呼びます。 ←[*]
整数環や実数体には、零因子はありません。
零因子が存在しない環のことを「整域」と呼びます。
環A に対して、A を係数とする多項式は、
通常の多項式の加法乗法によって環をなします。
その環を A[x] と書きます。
実数体も環のひとつですから、実多項式環 R[x] が定義されます。
R[x]/(x^2-1) とは、R[x] の元で (x^2-1) で割った余りが同じになる
ものは同じ元とみなすことによってできる集合です。
この集合上で R[x] の加法乗法は well-defined なので、
それらの演算を持ち込むことによって R[x]/(x^2-1) も環になります。
well-defined とは、R[x] の元 f(x), g(x) に対して
f(x)+g(x) を (x^2-1) で割った余り
= ((f(x) を (x^2-1) で割った余り) + (g(x) を (x^2-1) で割った余り)) を (x^2-1) で割った余り,
f(x)・g(x) を (x^2-1) で割った余り
= ((f(x) を (x^2-1) で割った余り) ・ (g(x) を (x^2-1) で割った余り)) を (x^2-1) で割った余り.
が成り立つことをいいます。
R[x] の元で (x^2-1) で割った余りが同じになるものを同じ元とみなしても、
R[x] での加法乗法がそのまま使える という意味です。
このようにして定義した R[x]/(x^2-1) が、[*]の零因子を持つか持たないか
を問題にしているわけです。零因子をみつければ、整域ではないと言えます。
No.1 No.2 に書いたのは、(x-1) が R[x]/(x^2-1) の零因子だということです。
(x-1) を (x^2-1) で割った余りは (x-1) ですから、
(x-1) は R[x]/(x^2-1) に置いても 0 と等しくありません。
(x+1) も同様です。
しかし、このふたつを掛けた (x-1)(x+1) = (x^2-1) は、(x^2-1) で割ると
余りが 0 ですから、R[x]/(x^2-1) では 0 と等しくなります。
零ではない (x-1) と (x+1) を掛けて積が零になったので、
(x-1) と (x+1) は R[x]/(x^2-1) の零因子であり、
零因子を持つ R[x]/(x^1-1) は整域ではありません。
一般に、環A係数の範囲で因数分解できる多項式 f(x) による A[x]/f(x) は、
f(x) の因数が零因子となり、整域ではありません。
No.2
- 回答日時:
>なぜx-1が零因子なのですか
(x-1) ≠ (0), (x-1)(x+1) = (0).
って、書きましたけどね。
零ではないが、何かと掛けたら零になる
ような元を、その環の零因子といいます。
零因子の無い環が整域です。
(x-1)(x+1) = x^2 - 1 = (x^2 - 1)・1 + 0 なので、
R[x]/(x^2 - 1) では (x-1)(x+1) = (0) ですね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- Excel(エクセル) 表示形式、文字列セル(列)に数式を入力するには マクロ 1 2022/09/18 10:53
- その他(家計・生活費) JCOM電力 燃料費調整単価の上限撤廃について 3 2023/04/28 17:04
- 数学 代数学の環の多項式環についてです 体 kについて、k係数の多項式環 k[X] は体とならないことを示 6 2023/07/09 20:29
- 数学 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ. 8 2022/06/27 11:28
- 統計学 加重最小二乗法=①「変数を自然対数変換」=②「誤差項の分散の逆数を重み付け」? 8 2022/11/26 11:15
- 数学 多項式の性質と無理数・有理数 2 2022/06/21 06:50
- 数学 数学の質問です。整数aのうち、 5次多項式 x^5+x+aがQ上既約かつ、可解であるようなものは存在 3 2023/01/31 20:16
- 数学 環論 1 2022/04/12 14:08
- 数学 高3の微分についての質問です。 ある説明に「数学IIで扱ったのは多項式関数で、この時極限値は必ず存在 6 2023/07/02 10:04
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2桁の数のうち3で割ると1余る数...
-
学校の教科書のワークを直接購...
-
なぜ-2分の1になるんですか? ...
-
教科書をまとめるようなレポー...
-
3個のさいころを同時に投げると...
-
身の回りの負の数が何があるか...
-
教師用の赤本って。。。
-
学生です。使わなくなった教科...
-
正しい
-
数学II 三角関数 θ=π/2+nπと教...
-
教科書を譲って貰ったお礼
-
機械製図 練習ノートの506、701...
-
異性の友達との教科書の貸し借...
-
急に二重になりました。 高校生...
-
高校の教科書、紛失した?
-
現在、浪人をしており世界史を...
-
院試(理系大学)の試験勉強について
-
中学英語ですが every boyはど...
-
グルコース一分子から合計何個...
-
地理Bになくて地理探求にある内...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
大学生男子です。サークルの先...
-
身の回りの負の数が何があるか...
-
学生です。使わなくなった教科...
-
難しい理論を解りやすく説明す...
-
教科書を譲って貰ったお礼
-
華美でない服の基準が分かりま...
-
学校の先生が使う指導書は、一...
-
地理Bになくて地理探求にある内...
-
教科書をまとめるようなレポー...
-
今の日本の世の中は、地獄でし...
-
数学II 三角関数 θ=π/2+nπと教...
-
高校の教科書、紛失した?
-
異性の友達との教科書の貸し借...
-
高校の教科書「新編」というのは?
-
大学の教科書を在庫切れで買い...
-
高一英コミュ教科書 「Cambridg...
-
機械製図 練習ノートの506、701...
-
急に二重になりました。 高校生...
-
教科書を配られるのですが、10...
-
細胞質と細胞質基質の違いを教...
おすすめ情報