代数

R[x] / (x^2 - 1)　Rは実数体
R[x] は多項式とすると
上記は整域でないそうですが
なぜそうなるのでしょうか
ご説明をお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/16 14:48

あの説明でよくわかりませんか... さて、どうしたものかな。

教科書を先頭から読みなおしたほうがいいような気もするけど...

足し算と掛け算がほぼ普通に行える環境を「環」といいます。
環の正確な定義は、教科書を見てください。
環は、やや一般化されているので、「ほぼ普通に」とはいっても
特に掛け算の性質に整数や実数とは異なる部分があります。
そのひとつが「零因子」の存在です。
それ自体は零ではないけれど、零ではない元との積が零になる
ような元を零因子と呼びます。　←[＊]
整数環や実数体には、零因子はありません。
零因子が存在しない環のことを「整域」と呼びます。

環A に対して、A を係数とする多項式は、
通常の多項式の加法乗法によって環をなします。
その環を A[x] と書きます。
実数体も環のひとつですから、実多項式環 R[x] が定義されます。
R[x]/(x^2-1) とは、R[x] の元で (x^2-1) で割った余りが同じになる
ものは同じ元とみなすことによってできる集合です。
この集合上で R[x] の加法乗法は well-defined なので、
それらの演算を持ち込むことによって R[x]/(x^2-1) も環になります。
well-defined とは、R[x] の元 f(x), g(x) に対して
f(x)+g(x) を (x^2-1) で割った余り
= ((f(x) を (x^2-1) で割った余り) + (g(x) を (x^2-1) で割った余り)) を (x^2-1) で割った余り,
f(x)・g(x) を (x^2-1) で割った余り
= ((f(x) を (x^2-1) で割った余り) ・ (g(x) を (x^2-1) で割った余り)) を (x^2-1) で割った余り.
が成り立つことをいいます。
R[x] の元で (x^2-1) で割った余りが同じになるものを同じ元とみなしても、
R[x] での加法乗法がそのまま使える という意味です。

このようにして定義した R[x]/(x^2-1) が、[＊]の零因子を持つか持たないか
を問題にしているわけです。零因子をみつければ、整域ではないと言えます。
No.1 No.2 に書いたのは、(x-1) が R[x]/(x^2-1) の零因子だということです。
(x-1) を (x^2-1) で割った余りは (x-1) ですから、
(x-1) は R[x]/(x^2-1) に置いても 0 と等しくありません。
(x+1) も同様です。
しかし、このふたつを掛けた (x-1)(x+1) = (x^2-1) は、(x^2-1) で割ると
余りが 0 ですから、R[x]/(x^2-1) では 0 と等しくなります。
零ではない (x-1) と (x+1) を掛けて積が零になったので、
(x-1) と (x+1) は R[x]/(x^2-1) の零因子であり、
零因子を持つ R[x]/(x^1-1) は整域ではありません。

一般に、環A係数の範囲で因数分解できる多項式 f(x) による A[x]/f(x) は、
f(x) の因数が零因子となり、整域ではありません。

この回答へのお礼

非常に詳しくご説明戴き本当にありがとうございました

お礼日時：2019/12/18 16:29

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/14 18:30

＞なぜx-1が零因子なのですか

(x-1) ≠ (0), (x-1)(x+1) = (0).
って、書きましたけどね。

零ではないが、何かと掛けたら零になる
ような元を、その環の零因子といいます。
零因子の無い環が整域です。

(x-1)(x+1) = x^2 - 1 = (x^2 - 1)・１ + 0 なので、
R[x]/(x^2 - 1) では (x-1)(x+1) = (0) ですね。

この回答へのお礼

よくわかりませんが有難う御座いました

お礼日時：2019/12/15 23:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/13 22:57

(x-1) が R[x]/(x^2 - 1) の零因子になっています。

(x-1) ≠ (0), (x-1)(x+1) = (0).

この回答へのお礼

なぜx-1が零因子なのですか
よくわかりませんので宜しくお願いします

お礼日時：2019/12/14 18:23