limx→0 sinx/2x=1/2になるのはなぜですか 0になるのではないのですか？ 教えてくださ

limx→0 sinx/2x=1/2になるのはなぜですか
0になるのではないのですか？
教えてください

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/12/23 20:40

図の円は、半径が１で中心は原点にある。

これを単位円という。
A点から出発して、点Pが円周上を進んだ距離APで、∠AOP=θ測る方法を使う。
ｘ軸とｙ軸のなす角は直角で、９０°であるが、代数や解析では、これをπ/２という。
点PがA点から出発して、円周上を点Cまで進んだ距離は、円周の1/4である。
円周の一周が2πだから、円周の1/4はθ=π/２=９０°＝∠COAである。
この方法では、θ=４５°ならθ=π/４、θ=３０°ならθ=π/６である。
この方法を弧度法という。代数や解析を勉強するには、これを使わないといけない。
図の弧AP＝θである。
次に単位円ではOP=1である。この時、Pのy座標=PB=sinθである。
定義１：AP＝θ　。　定義２：PB=sinθ　。この二つの定義を覚えなければならない。
定義とは、数学をやる時は、この定義を認めようと世界中で約束するものであるから、
証明する必要はない。
θの代わりにxという文字を使うと、PB=sinｘ，AP＝ｘとなる。
するとsinｘ/ｘ＝PB/AP　が成り立つ。
x＝APが0に近付く極限では。点PがAに近付くとともに、弧PAと直線PBが近づいて、長さは等しくなるので、PB/APの極限は１になる。xが0に近付くと、PAとPBはほとんど完全に重なってしまうので、長さが等しくなる。
PB/APの極限は１になる説明は、面積を使う証明方法など、いろいろある。
lim sinｘ/ｘ＝１　だから
lim sinｘ/2ｘ＝１/2　となる。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/18 07:20

証明はそこいらじゅうにあるので、それを見ていただくとして

何故0になると考えたのでしょうか。

sinxはXが小さくなると、sinx≒xとなるのは
sinxの図形的な定義から容易に想像できます。

まずは、sin0.001とかを電卓で計算してみるのが良いのでは？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/17 13:15

この極限は、もとをただせば

limy→0 (1/2)siny/yと言う極限の変形版です
ご存じの通りlimy→0　siny/y=1ですから
limy→0 (1/2)siny/y=(1/2)・1=1/2です
ご質問の式はこの式において
y=2xとしたものです
この置き換えにあたって、x→０なら2x→０ですからy→0に矛盾していません
ゆえに、Limy→0 (1/2)siny/y=limx→0 sinx/2x(=1/2)です

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/12/17 08:59

僕も学生のとき不思議でした。

いろいろ公式を使えばそうなんだけど。で，エクセルで x=0.0001 から 1 くらいまで図を描いてみましょう。実はそうせずに，y=x の図と y=sin(x) の図を同じ尺度で描いてよぉーく見ましょう。そして y=sin(x) を x で微分して x=0 を代入すると，x=0 での傾きが出てきます。その傾きと y=x の図をじぃーっと眺めましょう。どうです？　少しイメージできませんか？　もう少し算数を使うなら，sin(x) を x=0 のそばでテイラー展開しましょう。そして， sin(x)/x は・・・その式でxをゼロに近づけたとき，どうなりますか？

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/12/17 06:16

そのまま分母・分子の極限値を代入すると0/0、となる場合は、収束して極限値を持つ。

(これ、収束するかどうかの簡単な見分け方)

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/17 05:26

limx→0 sinx/x=1 は、公式にあります。

証明は図を利用したもので有名で、教科書等にありますのでそちらを見てください。

limx→0 sinx/2x=(1/2)limx→0 sinx/x=(1/2)・1=1/2