三角錐に内接する球とその応用

写真を添付するので特に(3)を詳しく教えてください。

質問者からの補足コメント

• 5×5√3×(1/2)×r×(1/3)
  　　5×5√3×(1/2)×r×(1/3)
  　　10×5√3×(1/2)×r×(1/3)
  ＋）10×5√2×(1/2)×r×(1/3)
  －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
  (50/3)･r･(2√3＋√2)
  (50/3)･r･(2√3＋√2)＝(125/3)･√2
  これをゴリゴリ解いていったら、r＝(√6－1)／2 となりました。
  
  とあるのですが、ｒ=√6-1な気がします。
  私の計算ミスかもしれないのですがいかがでしょうか？

    補足日時：2019/12/19 22:50

No.3 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2019/12/19 22:57

No.1です。

必ず図を書いてください。
△BCDで
BE^2+CE^2=BC^2　　
BE^2+5^2=(5√3)^2
BE^2+25=75
BE^2=50　BE>0より
BE=5√2
△ACDで
AE^2+CE^2=AC^2
AE^2+5^2=10^2
AE^2+25=100
AE^2=75　AE>0より
AE=5√3

A-BCD=△BCD×AB×(1/3)
A-BCD=CD×BE×(1/2)×AB×(1/3)
A-BCD=10×5√2×(1/2)×5×(1/3)=125√2×(1/3)
A-BCD=(125/3)√2

半径をrとする
(O-BCD)+(O-ACD)+(O-ABC)+(O-ABD)=(A-BCD)　　(O-ABC)=(O-ABD)より
(O-BCD)+(O-ACD)+(O-ABC)×2=(A-BCD)
△BCD×r×(1/3)+△ACD×r×(1/3)+△ABC×r×(1/3)×2=(A-BCD)
(△BCD+△ACD+△ABC×2)×r×(1/3)=125√2×(1/3)
(10×5√2×1/2+10×5√3×1/2+5√3×5×1/2×2)×r×(1/3)=125√2×(1/3)　　両辺3倍
(25√2+25√3+25√3)×r=125√2
25(√2+2√3)×r=125√2
(2√3+√2)×r=5√2　　両辺(2√3-√2)倍
(2√3+√2)(2√3-√2)×r=5√2(2√3-√2)
(12-2)r=10√6-10
10r=10√6-10
r=√6-1

中心Ｏから辺ABの長さをxとする
△ABO+△BEO+△AEO=△ABE
5×x×1/2+5√2×r×1/2+5√3×r×1/2=5√2×5×1/2　　両辺2倍
5x+5√2(√6-1)+5√3(√6-1)=5√2×5
5x+10√3-5√2+15√2-5√3=25√2
5x=15√2-5√3
x=3√2-√3

この回答へのお礼

完璧ですね！ありがとうございます！

お礼日時：2019/12/19 23:04

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/12/19 19:12

まず、△BCDを底面とした三角錐として考えましょう。

というのは、AB＝5、AC＝AD＝10、BC＝BD＝5√3なので、∠ABC＝∠ABD＝直角です。

(1)BからCDに垂線を下ろし、交点をEとする。
BD^2＝BE^2＋ED^2 → 三平方の定理
(5√3)^2＝BE^2＋5^2
BE^2＝50
BE＞0よりBE＝5√2
体積＝10×(5√2)×(1/2)×5×(1/3)＝(125/3)･√2

(2)内接球Oの半径をrとする。
点Oと各面との距離は半径rである。
(1)で求めた体積＝三角錐A-BCDの各面と点Oで作られる三角錐の体積の総和であることに着目して式を立てる。

　　5×5√3×(1/2)×r×(1/3)
　　5×5√3×(1/2)×r×(1/3)
　　10×5√3×(1/2)×r×(1/3)
＋）10×5√2×(1/2)×r×(1/3)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(50/3)･r･(2√3＋√2)
(50/3)･r･(2√3＋√2)＝(125/3)･√2
これをゴリゴリ解いていったら、r＝(√6－1)／2 となりました。

(3)ABに垂直で点Oを通る面でこの三角錐を切って、その切断面を考える。切断面は三角形になるし、底辺である△BCDと平行ですね。
この切断面では、球Oの切断面(円O)は△ABCと△ABDと接している。それが図で書ければシメたもの。求める垂線はこの切断面にあるし、それは１辺がrの正方形の対角線の長さを求めればよいことになる。つまり(√2)･rが求める数字。
(2)より r＝(√6－1)／2 なので、
求める数字は (2√3－√2)／2 となる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。答えまで書いて頂いて嬉しいです。

お礼日時：2019/12/19 19:15

No.1 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2019/12/19 17:58

△ABCはAB=5、BC=5√3、AC=10のACを斜辺とする∠ABC=90の直角三角形になります。

△ABDも同様に∠ABD=90の直角三角形になります。これより、A-BCDはABがこの三角すいの高さになることがわかりました。
△ACDは正三角形ですので、AからCDに垂線AEを下ろすとEはCDを2等分します。
△BCDはBC=BDの二等辺三角形ですので、BからCDに垂線を下ろすと垂線はCDを2等分します。ということは、Bから下ろした垂線はEと一致することがわかりました。

△ABEを考えます。AB=5、BE=5√2、AE=5√3、∠ABE=90の直角三角形です。
球Oは三角すいに内接しているということは、三角すいの面に接しているということです。そして、AE、BEは内接球の接線になっています。
△ABEの内部に円を書きますがAE、BEに接しますが、ABには接しません。
OからAEに下ろした垂線は半径r、BEに下ろした垂線は半径r、ABに下ろした垂線をxとして
面積で求めます。
△ABO+△BEO+△AEO=△ABE
のxの一次方程式で求まります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。とても参考になりました。計算式や答えを教えて頂けるとより助かるのですがいかがでしょうか？

お礼日時：2019/12/19 18:05