数学についてです。 この二重積分の解き方を教えてください。 ∬[D]e^(-x^2)dxdy 積分領

数学についてです。
この二重積分の解き方を教えてください。


∬[D]e^(-x^2)dxdy

積分領域D={(x,y)|-2y≦x≦2,-1≦y≦0}
よろしくお願いします。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/12/22 13:32

解けないように思えるが。

∫e^(-x^2)dxの原始関数は初等関数で表すことはできない。

誤差関数erf(x)を用いて、∫e^(-x^2)dx=(√π/2)e(-x^2) erf(x) + C と一応表記は可能だが、はたして二重積分で値がだせるかどうか…。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/22 14:12

f(x) = ∫[0,x]e^(-x^2)dx と置く。

∫[-2y≦x≦2]e^(-x^2)dx = f(2) - f(-2y)
より、
∬[D]e^(-x^2)dxdy = ∫[-1≦y≦0]{ f(2) - f(-2y) }dy
= f(2){ 0 - (-1) } - ∫[-1≦y≦0]f(-2y)dy
= f(2) - (1/2)∫[0≦z≦2]f(z)dz,　　； z = -2y

部分積分を行って、
∫[0≦z≦2]1・f(z)dz = [ z・f(z) ]_(z=0,2) - ∫[0≦z≦2]z・e^(-z^2)dz
= 2f(2) + (1/2)∫[0≦z≦2](-2z)・e^(-z^2)dz
= 2erf(2) + (１/2)[ e^(-z^2) ]_(z=0,2)
= 2erf(2) + (１/2){ e^(-4) - 1 },

以上より、
∬[D]e^(-x^2)dxdy = f(2) - (1/2){ 2erf(2) + (１/2)(e^(-4) - 1) }
= (１/4)(1 - 1/e^4).

f(x) の正体も、f(2) の値も不明のままだが、
定積分の値は求まった。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/22 15:47

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/22 14:41

面倒しなくても、普通に求められます。

積分範囲Dは y=0, x=2, y=-x/2 で囲まれた3角形。すると
I=∫dx[0,2] ∫[-x/2,0] e^(-x²) dy=∫dx[0,2] e^(-x²) ∫[-x/2,0] dy
=∫dx[0,2] e^(-x²) (-x/2)=[(-1/4)e^(-x²)] [2,0]=-{(e^-4)-1}/4=(1-e^-4)/4

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/22 15:47

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/12/22 15:17

No.2さん

>f(x) = ∫[0,x]e^(-x^2)dx と置く。

誤差関数の定義は、 erf(x)=(2/√π)∫[0, x]e^(-t^2)dt だから、f(2)-erf(2)は0にはならないのでは。