二次関数の問題です y=-2x^2-ax-a-1はx=1/4aのとき最大値1/8a^2-a-1となる

二次関数の問題です
y=-2x^2-ax-a-1はx=1/4aのとき最大値1/8a^2-a-1となる。この最大値をMとすると、0≦a≦8のときMの範囲はという問題で答えは-3≦M≦-1とあったのですが、1/8a^2-a-1にa=0を代入したらー1で、a=8を代入しても-1になると思うのですがなぜ-3≦M≦-1になるのでしょうか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/12 15:03

y = -2x^2 - ax - a - 1

　= -2[x^2 + (1/2)ax] - a - 1
　= -2[x + (1/4)a]^2 + (1/8)a^2 - a - 1
ですから、x の範囲に制限がなければ
　x = -(1/4)a のとき最大で、最大値は M = (1/8)a^2 - a - 1
になります。

ここで、0 ≦ a ≦ 8 のとき、M = (1/8)a^2 - a - 1 の最小値、最大値はいくつか、というのが問題です。

これは、変数を書き換えて、

「0 ≦ X ≦ 8 のとき、Y = (1/8)X^2 - X - 1 の最小値、最大値はいくつか」

という問題と同じです。
これを解くには、定石通り平方完成させて

　Y = (1/8)(X - 4)^2 - 3

X の定義域 0 ≦ X ≦ 8 の中に頂点がありますから、
　X = 4 で最小、最小値は -3
になります。
最大となるのはどちらかの端点ですが
　X = 0 のとき、Y(0) = -1
　X = 8 のとき、Y(8) = -1
ですから、
　X = 0, 8 で最大、最大値は -1
になります。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/01/12 13:01

質問通り a=0 でも a=8 でも M=-1 です。

これは、どちらも 0≦a≦8 と -3≦M≦-1 との
範囲に入っていますから 問題ありませんよ。
a=4 としてみて下さい。M は -3≦M≦-1 の範囲の
最小の値になる筈です。

尚、パソコンで 分数を書くときには 注意が必要です。
「 1/4a 」は「4a分の1」と解釈され易いです。
「4分の1 掛ける a 」の時は 「 (1/4)a 」と書きます。
「1/8a^2」も同じです、「 (1/8)a^2 」となります。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/12 12:43

M=1/8a^2-a-1 という2次関数だからです

分からなければ問題を一旦リセットして、文字をM⇔y
a⇔ｘに置き換えて考えてみてください
すると　2次関数　y=1/8x^2-x-1（0≦x≦8)
これは放物線ですので　グラフの両端で最大と最小を取るとは限りませんよね
0≦x≦8の範囲内に頂点があれば　頂点で最小値を取ります
この事から　あらためてy=1/8x^2-x-1（0≦x≦8)の最小値を考えてみてください・・・きっと最小値はｘ＝４でｙ＝-3
となっているはずです
本来の問題の文字に戻しても考え方は全く同じですので、慣れてきたらM=1/8a^2-a-1のままで考えるようにしてください