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判別式のD/4とはなんですか?

A 回答 (4件)

No.3 です。

あれれ、式を間違えていましたね。
全文再掲します。

判別式「D」の 1/4 ということです。

ax^2 + bx + c = 0    ①

の二次方程式の判別式は

 D = b^2 - 4ac

です。

一方、①が実数根を持つということは

 y = ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - b^2 /4a + c
  = a(x + b/2a)^2 - (1/a)(b^2 /4 - ac)       ②

のグラフが「x 軸との共有点を持つ」ということと等価です 。

②のグラフが「x 軸との共有点を持つ」ということは、

・a>0 のとき、②の頂点 (-b/2a, -(1/a)(b^2 /4 - ac)) が x 軸よりも下にある、つまり頂点の y 座標が負である
  -(1/a)(b^2 /4 - ac) < 0 → b^2 /4 - ac > 0   ③                ←ここの左の式の演算記号を修正

・a<0 のとき、②の頂点 (-b/2a, -(1/a)(b^2 /4 - ac)) が x 軸よりも上にある、つまり頂点の y 座標が正である
  -(1/a)(b^2 /4 - ac) > 0 → b^2 /4 - ac > 0   ④                ←ここの左の式の演算記号を修正
この③④が D/4 です。

判別式は「正か、負か、0 か」を調べるものなので、1/4 にしても判定結果は等価です。
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判別式「D」の 1/4 ということです。



ax^2 + bx + c = 0    ①

の二次方程式の判別式は

 D = b^2 - 4ac

です。

一方、①が実数根を持つということは

 y = ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - b^2 /4a + c
  = a(x + b/2a)^2 - (1/a)(b^2 /4 - ac)       ②

のグラフが「x 軸との共有点を持つ」ということと等価です 。

②のグラフが「x 軸との共有点を持つ」ということは、

・a>0 のとき、②の頂点 (-b/2a, -(1/a)(b^2 /4 - ac)) が x 軸よりも下にある、つまり頂点の y 座標が負である
  -(1/a)(b^2 /4 + ac) < 0 → b^2 /4 - ac > 0   ③

・a<0 のとき、②の頂点 (-b/2a, -(1/a)(b^2 /4 - ac)) が x 軸よりも上にある、つまり頂点の y 座標が正である
  -(1/a)(b^2 /4 + ac) > 0 → b^2 /4 - ac > 0   ④

この③④が D/4 です。

判別式は「正か、負か、0 か」を調べるものなので、1/4 にしても判定結果は等価です。
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判別式


y=ax^2+bx+c がどのような解を持つものなのか簡易に判定するもので
普通は
D=b^2-4ac とします
但し、bが偶数の場合は
D/4=(b/2)^2-ac として用いられることがあります。

例えば
y=x^2-6x+9 の場合は
D=36-36
D/4=9-9 というように簡略化した計算で用いることが出来ますね。

私は、D/4 は、ここの回答では判別式の意味が判りにくくなるので、あまり使わないですね。
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Dの1/4としか答えようがない。

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