縦ベクトルと横ベクトルの関係性が良く分かりません

調べても「書き方の違い」みたいな話ばかりで的を射ません。右からかける、左からかけるということもよく分かりません。
以下にちょっと自分の混乱を書きます。混乱なので間違いだらけだと思います。

例えばx,yをn次元の縦ベクトルとしますよね。
xとyの内積を、xの転置を使って「x^T y」みたいな書き方をしたりすると思います。
これは行列を写像と見るのと同じ見方で言えば、x^Tはyをスカラーに写す写像だと考えられると思います。
ベクトルをスカラーに写す写像ということは、x^Tは双対空間の元ということになるのかなと思いました。
このことから、横ベクトルは縦ベクトルに左からかける場合においては双対ベクトルとして見れると思ったのですが、だとした場合、右からかける場合に生成されるn×n行列の正体は一体何なのか分かりません。「x^T y」は内積でしょうが、「y x^T」という得体の知れない行列の本質は何なのでしょうか。何が何を何に写像しているのでしょうか。

また、転置というものも良く分かりません。
例えば、Aをm×n行列とします。
この時、Aはn次元縦ベクトルに左からかけて、m次元縦ベクトルを生成することができます。このときAはn次元ベクトル空間からm次元ベクトル空間への写像と見れます。
また、Aはm次元横ベクトルに右からかけて、n次元横ベクトルを生成することができます。このときAはm次元ベクトル空間からn次元ベクトルへの写像と見れます。
そしてA^Tはどうなるかというと、m次元縦ベクトルに左からかけてn次元縦ベクトルを生成でき、n次元横ベクトルに右からかけてm次元横ベクトルを生成できます。
Wikipediaによれば、線形写像V→Wの転置とはW*→V*に相当するそうです。(その意味もあまりよく分かっていないのですが)
しかし、A^Tは左からかける場合、m次元「縦」ベクトルにかかりn次元縦ベクトルを生成します。
2段落目で述べたような話で、私は縦ベクトルと横ベクトルを互いの双対空間の元なのではないかと思っていたので、こう考えると話が合わなくなってしまいます。A^TはW*→V*というよりW→Vらしく見えてしまいます。むしろAを右からかけて使うときの方がW*→V*っぽさがあるように見えます。

縦ベクトルを基本として考える場合、行列を左からかけて行けばいいことが分かりました。横ベクトルを基本として考える場合、行列を右からかけていけばいいことも分かりました。どっちかだけを基本として数式を書いていれば困ることはなさそうです。

しかし両者の世界を統一的に考えるにはどのような考え方をすればいいのか、縦ベクトルと横ベクトルの間の関係性とは？転置という概念の正体とは？左からかけることと右からかけることの意味とは？ということを知りたいのですが、教科書のどの辺を読めば分かることなのか見当もつきません。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/17 20:23

縦ベクトルと行列で書いた式は

機械的に全く同じことを表す
横ベクトルと行列の式に書き換えられます。

「書き方の違い」は本当。縦ベクトルが好まれるのは

①成分をベタがきしたとき省スペース
②作用を左に書くのが数学の習慣

かなと思ってます。