四角錐の表面積について

正四角錐の表面積は

三角の部分の面積×４＋底面積

という公式で求めるそうですが、底面は正方形であるものの正四角錐ではない四角錐でも、底面積と高さが同じ場合は正四角錐と表面積は同じになるのでしょうか。

正四角錐と明示していない問題で回答に上記の公式があり、疑問に思いましたので質問します。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/19 16:33

(四角錐の表面積) = 4つの(三角の部分の面積) + 底面積 という「公式」は

どんな四角錐だろうと、正四角錐でなかろうと必ず成立しますが、

＞底面積と高さが同じ場合は正四角錐と表面積は同じになるのでしょうか。

は、同じにゃなりませんね。数値を計算しなくても判ります。
四角錐の頂点を底面と平行に非常に遠くまで移動して変形すれば、
側面の三角形は底辺の長さ固定のまま高さが非常に長くなるので
表面積はいくらでも大きくなる。一定のわけがありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。底面より外側まで頂点を移動するのは盲点でした。私にはわかりやすかったのでベストアンサーにさせていただきます。

お礼日時：2020/02/19 20:12

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/19 16:02

表面積とは、立体で、表面に見えている面すべての面積の合計のことです

したがって、正四角錐でない場合　
四角錐の表面積＝三角の部分１の面積＋三角の部分２の面積＋三角の部分３の面積＋三角の部分４の面積＋底面積です
正4角錐では三角の部分の面積がすべて等しいため
三角の部分1の面積＋三角の部分２の面積＋三角の部分３の面積＋三角の部分４の面積＋底面積=三角の部分の面積x4＋底面積
です

ここで、底面が1辺4cm、高さも４cmの正四角錐の表面積を計算してみます
なお、底面の正方形の４つの頂点には名前をつけ、正方形ABCDと命名します
そして、正四角錐の頂点はEと名付けます
底面積＝正方形ABCDの面積＝１６
側面は　底辺４、高さ2√5（三平方の定理から算出）の2等辺三角形ですから
側面積＝(4x2√5÷2)x4=16√5
ゆえに　表面積＝三角の部分の面積×４＋底面積＝側面積+底面積＝16+16√5≒52です

次にこの正四角錐の底面の形状と高さはそのままにして、正四角錐の頂点Eの位置を、Aの真上までスライドさせることにします
（つまり、EAと面ABCDが垂直になる位置までEをスライドさせるということです）
このスライドによってできた四角錐は直角2等辺三角形2面と、直角三角形2面を側面に持ちます
直角2等辺三角形は底辺と高さがそれぞれ４なのでその面積は　4x4÷2=8です
直角三角形は底辺が４、高さは三平方の定理などから算出して４√２ですから、その面積は4x4√2÷2=8√2です
もちろん底面積=4x4=16です
ゆえに、スライドしてできた四角錐の表面積は
四角錐の表面積＝三角の部分１の面積＋三角の部分２の面積＋三角の部分３の面積＋三角の部分４の面積＋底面積
＝8+8+8√2+8√2+16=32+16√2≒55となります

おわかりの通り、それぞれは底面が同じ正方形で高さも等しいのですが表面積は異なります
従ってこのような比較を他にも行ってみれば、よりはっきりしますが、
底面は正方形で底面積と高さが同じ正四角錐どうしでは
基本的に表面積は異なるものになります。

この回答へのお礼

詳しい証明ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時：2020/02/19 20:11

No.3 回答者： Zincer 回答日時： 2020/02/19 15:38

どのような問題かはわかりませんが、その疑問は正しい！

底面が正方形である場合、各側面の三角形の底辺は等しくなりますが、高さに相当する斜面の長さ（＝頂点から各辺への垂線の長さ）は異なります。
「四角推の高さが同じ」ということは、頂点は底面に平行な面に存在することになります。証明は省きますが、４つの斜面の長さの合計は、正四角推の時が最小になるのです。ですから４つの三角形の面積の合計も最小になり、それ以外では面積が増えることになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。正四角推の時が面積が最小なのですね。参考になりました。

お礼日時：2020/02/19 20:10

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/02/19 15:32

「三角の部分の面積×４＋底面積」は、側面の三角形が 4つ共 同じ大きさだから 成り立つ式ですね。

ですから、三角形の大きさが違えば 当然 上の式は 使えません。
「正四角錐と明示していない問題で回答に上記の公式があり」と云う事は、
他の条件から 正四角錐 と云える形なのではないですか。

この回答へのお礼

確かにそうですね。確認してみます！

お礼日時：2020/02/19 20:09

No.1 回答者： mojitto 回答日時： 2020/02/19 15:14

そんな公式とも言えないような公式を丸暗記しようとするから、分からなくなるのです。

また質問者さまもご自身で「正四角錐の表面積」とおっしゃっていますよね。
正四角錐でないものを正四角錐の公式に当てはめられるわけがありません。
正方形の面積の公式で長方形の面積が求まりますか？と聞いているのと同じです。

「表面積は全ての面の面積の和」という基本をちゃんとつかみましょう。
そうすれば正四角錐の表面積の公式も覚える必要がなくなり、感覚で使えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時：2020/02/19 20:09