数学の問題です x^2-8x+15≧0は、x^2-3x+1≦0であるための必要条件であるのはなぜか教

数学の問題です
x^2-8x+15≧0は、x^2-3x+1≦0であるための必要条件であるのはなぜか教えてください！写真のように考えると、②の時点で、xは3-√5/2≦x≦3+√5/2だからx≦3はわかりますが、x≧5を満たさないと思うのですが、なぜ必要条件になるのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/21 14:10

必要条件や十分条件を図にするとUPした画像のようになります。

図で、条件Pは条件Qの範囲の中に完全に包まれています。
このとき、P内にあれば、当然Q内に含まれることになるので
P⇒Qが成り立ち
PであることはQであるための十分な条件と言えます。
＞PはQであるための十分条件

逆にQの一部はPに含まれていないので
Q⇒Pは常に成り立つとは言えない。つまり成り立たない　ということになり、
Qの範囲にあっても、Pの範囲であるためには不十分です。しかしPであるためには少なくともQであることが必要と言えます。
＞QはPであるための必要条件

まとめると
P⇒Qが成り立つなら
PはQであるための十分条件
QはPであるための必要条件

このようなイメージを持っていれば必要十分の関係が分かりやすいと思います！

ご質問の問題でも全く同じイメージを持って考えると（あなたの数直線画像が正しいなら）
条件②は完全に条件①に包まれているので、②→①が成り立ち
②であることは①であるためには十分な条件と言えます
逆にあなたが気にしているx≧5の部分など、①の1部分は②に含まれないので
①であるだけでは②であるためには不十分です
しかしながら、②であるためには少なくとも①内にあることが必要なので
①は②の必要条件ということができます。

「x≧5を満たさないと思うのですが・・・」とありますが、満たさない部分があるからこそ、必要条件になるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/02/21 21:19

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/21 09:06

集合 P、Q、R を次のように定めます。

P＝{x| (3-√5)/2≦ｘ≦(3+√5)/2 }
Q={x| x≦3 }
R={x| x≧5 }

不等式 x²-3x+1≦0 の解の集合は P です。
不等式 x²-8x+15≧0 の解の集合は Q∪R です。

ｐ⊂R は成り立ちませんが、P⊂Q∪R は成り立ちます。
したがって、x²-8x+15≧0は、x²-3x+1≦0であるための必要条件です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/20 21:44

不等式をカンマで区切って並べる習慣がいけないんです。

面倒がらずに「かつ」「または」をきちんと書くくせをつけましょう。

x^2-8x+15≧0 ⇔ (x≦3 または x≧5),
x^2-3x+1≦0 ⇔ (3-√5/2≦x かつ x≦3+√5/2) です。
「かつ」「または」のどちらになるかは、
y=x^2-8x+15 や y=x^2-3x+1 と x 軸の位置関係を見れば判ります。

x^2-8x+15≧0 が x^2-3x+1≦0 であるための必要条件
すなわち x^2-3x+1≦0 ⇒ x^2-8x+15≧0 だというのは
(3-√5/2≦x かつ x≦3+√5/2) ⇒ (x≦3 または x≧5) のことなので、

3-√5/2≦x≦3+√5/2 のとき x≦3 か x≧5 のどちらかが成立すれば
x^2-3x+1≦0 ⇒ x^2-8x+15≧0 だと言えるのです。
だから、x≧5 を満たさないでもかまいません。

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2020/02/20 21:15

p ⇒ q　が真であるとき

p は q であるための十分条件であり　　　　　　　　････････　☆
q は p であるための必要条件である

～～～～～～～～～～～～～～～～～


写真で、
②　⇒　①
を書いているから

x^2-3x+1≦0　⇒　x^2-8x+15≧0　が真である

ことは理解できると思うので、あとは
上の☆印にあてはめて

x^2-3x+1≦0　が　ｐ　
x^2-8x+15≧0　が　ｑ
だから
x^2-8x+15≧0は、x^2-3x+1≦0であるための必要条件である
ことが言える

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/20 20:50

②の範囲はx²-8x+15を計算したら正ですか？負ですか？

（①の答えなので正です）

このように①←②(②なら①)になっている時は、①は②の必要条件、②は①の十分条件となります

他の考え方ですが
例えばx<10000は②で有るために必須です
ですのでx<10000は②の必要条件
x≠0も②では必須。なので必要条件
①の範囲も（要らない部分も含んでいるけど）必須な部分を全てカバーしているので必要条件