数学の問題を教えて下さい。
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
43x+18y=5
これの解説で
43=18・2+7 移項すると 7=43-18・2
18=7・2+4 移項すると 4=18-7・2
7=4・1+3 移項すると 3=7-4・1
4=3・1+1 移項すると 1=4-3・1
よって
1=4-3・1
=4-(7-4・1)・1
=4・2+7・(-1)
とあるのですが、下から2行目の式から1番下の式になる理由がわかりません。
良ければ教えてください。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
4 と 7 で括るんです。
4 - (7 - 4・1)・1 = 4 - 7・1 + 4・1・1 = 4(1 + 1・1) + 7(-1) = 4・2 + 7(-1).
その後も同様に、
4 = 18 - 7・2 を上式の 4 へ代入して
4・2 + 7(-1) = (18 - 7・2)・2 + 7(-1).
この式を 7 と 18 で括って
(18 - 7・2)・2 + 7(-1) = 18・2 - 7・2・2 + 7(-1) = 18・2 + 7(-2・2 - 1) = 18・2 + 7(-5).
7 への代入も同様にやると、
1 = 18・12 + 43(-5) が見つかります。
これの両辺を 5 倍した 43(-25) + 18・60 = 5 を
43x + 18y = 5 から引くと 43(x + 25) + 18(y - 60) = 0.
43(x + 25) = -18(y - 60) の両辺の素因数分解を考えれば
x, y が求まりますね。
No.2
- 回答日時:
>このような式以外に解き方があったら教えて頂けると有難いです。
整数解を求めるやり方はほぼ定型化している。
(1) 実際の解を1つ求める。
(2) 実際の解を元に整数の代数で一般解を求める。
なんだけど、今回は実際の解を1つ求めるのが結構面倒だね。
ここはある程度、総当たりでやるしかない。
43x+18y=5
は、x=-7, y=17が解の1つになる。
43x+18y=5 …(p)
43×(-7)+18×17=5 …(q)
43(x+7)+18(y-17)=0
43(x+7)=18(-y+17)
43と18は互いに素(お互いに約数にも倍数にもならない)なので、整数をkとすると、
x+7=18k
x=18k-7
43k=-y+17
y=-43k+17
上記が一般解になる。
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