問題
赤玉3個、白玉3個、黒玉2個、計7個の玉が入った箱からA,B,Cの三人が順にそれぞれ2個ずつ玉を取り出す(取り出した玉は箱に戻さない)
(1)A,B,C三人がそれぞれ異なる色の玉を取り出す確率を求めよ
まず異なる色の取り出し方が
(ⅰ)赤黒・赤白・黒白
(ⅱ)赤白(x)・赤白(z)・赤黒
(ⅲ)赤黒・赤黒・赤白
の3パターン。(後に説明で使うのでx、zとおいておきます)
(ⅰ)について
(3×2)×(2×2)×(1×1)=24通り
A,B,Cがどの取り方(赤黒・赤白・黒白)をするかによって3!通り。よって24×6=144通り
そして問題は(ⅱ)の計算なんですが、僕はこう計算してしまいます。
(3×2)×(2×1)×(1×2)=24通り
同じようにA,B,Cがどの取り方をするかで考えるが、同じ赤白(上記x、zのこと)でもそれぞれの玉は区別して考えるとしたので、結局は違うもの。よって(ⅰ)同様に3!通り考えられる(→×)したがって24×6=144通り
多分原因は(3×2)×(2×1)×(1×2)と考えた時点でもうx、zの逆パターンまで数え上げてる、ということだと思います。つまりどの取り方をするかで考えるのは3!/2!=3通り。ゆえに24×3=72通り。ただなんとなくそうだなって思えるくらいであまり理解しているとは思えません。
ちなみに解答では{(3×2)×(2×1)}÷2×(1×2)×3!としていましたが、頭が固いのでちょっと分かりにくいです。
前述しましたがよくこの手の問題(赤・白・黒のカードが1枚・2枚・3枚あり、この6枚のカードをA,B,Cの箱の無作為に2枚ずついれる...など)でよく場合の数の求め方で止まってしまいます。
一番理解したいのは上で間違った計算をした部分についてですが、他にもアドバイス(確率全般について)があればどんなことでもいいのでよろしくお願いします!!
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
分母は
7C2×5C2×3C2=630通り
と設定しました。では分子を求めてみましょう。
これから、下記の3パターンについて、それぞれの場合の数を求めて、それらを合計しましょう。その合計値が分子となります。
(1)赤黒・赤白・黒白
(2)赤白・赤白・赤黒
(3)赤黒・赤黒・赤白
(1)赤黒・赤白・黒白
まずは「Aが赤黒・Bが赤白・Cが黒白」と勝手に仮定して話を進めましょう。
「Aが赤黒・Bが赤白・Cが黒白」の場合の数を求めます。
「Aが赤黒・Bが赤白・Cが黒白」という表現は、実際には
「Aが赤黒・Bが赤白・Cが黒白」
「Aが赤黒・Bが赤白・Cが白黒」
「Aが赤黒・Bが白赤・Cが黒白」
「Aが赤黒・Bが白赤・Cが白黒」
「Aが黒赤・Bが赤白・Cが黒白」
「Aが黒赤・Bが赤白・Cが白黒」
「Aが黒赤・Bが白赤・Cが黒白」
「Aが黒赤・Bが白赤・Cが白黒」
という8つの場合を含んでおり、このことを考慮しなければならないかのように(一見)思えますが、今回の計算法では「Aが赤黒」だろうが「Aが黒赤」だろうが気にしない、同じとみなす、という方針でやっているので、わざわざこれらを「別物とみなして8倍する」という操作は必要ありません。
従って「Aが赤黒・Bが赤白・Cが黒白」となる場合の数は
(3×2)×(2×2)×(1×1)=24通り
実際には
「Aが赤黒・Bが赤白・Cが黒白」
「Aが赤黒・Cが赤白・Bが黒白」
「Bが赤黒・Aが赤白・Cが黒白」
「Bが赤黒・Cが赤白・Aが黒白」
「Cが赤黒・Aが赤白・Bが黒白」
「Cが赤黒・Bが赤白・Aが黒白」
と、組合せが6通り存在するので、24×6=144通り ですね。
では次に、(2)に入ります。
(2)赤白・赤白・赤黒
これも「Aが赤白・Bが赤白・Cが赤黒」と勝手に決めてしまいましょう。
「Aが赤白・Bが赤白・Cが赤黒」となる場合の数を求めます。
まず、
「Aが赤白」・・・3×2=6
「Bが赤白」・・・2×1=2
「Cが赤黒」・・・1×2=2
掛け算して、24通り。
ここまでは大丈夫。
さて、
「Aが赤白・Bが赤白・Cが赤黒」となる場合の数を求めたのですが、実際には
「Aが赤白・Bが赤白・Cが赤黒」
「Aが赤白・Cが赤白・Bが赤黒」
「Bが赤白・Aが赤白・Cが赤黒」
「Bが赤白・Cが赤白・Aが赤黒」
「Cが赤白・Aが赤白・Bが赤黒」
「Cが赤白・Bが赤白・Aが赤黒」
と、6通りの組合せが存在するので、6倍して・・・と、ここでチョット待った!
本当に6倍でしょうか?
結論から言うと、ここは、
「Aが赤白・Bが赤白・Cが赤黒」
「Aが赤白・Cが赤白・Bが赤黒」
「Bが赤白・Cが赤白・Aが赤黒」
の3通りの組合せで、3倍で良いのです。
(ここからは気合入れてよく読んで下さい)
先程の6通りの組合せをもう1度見て下さい。
「A赤白・B赤白・C赤黒」と「B赤白・A赤白・C赤黒」はどこが違うのでしょうか?
わかりやすく説明するため、赤玉には1・2・3、白玉には1・2、黒玉には1・2という数字が書いてあると思って下さい。これから「赤1」「赤2」などという呼び方をします。
いま、我々は「A赤白・B赤白・C赤黒となる場合の数は(3×2)×(2×1)×(1×2)=24通りだと言いました。
ここで、
「Aが赤白」・・・3×2=6
というのは、Aの持っている玉が「赤1と白1」「赤1と白2」「赤2と白1」・・・「赤3と白2」という6通りを表しています。
「Bが赤白」・・・2×1=2
というのは、Bの持っている玉が「赤1と白1」「赤2と白1」という2通り(Aさんが何番目の赤玉を引き当てたかによって番号は変わるけど)を表しています。
この計算によって、「A赤白・B赤白」となる全ての場合を数えつくしていることにお気づきでしょうか?
仮にここでAとBがお互いの持っている玉を交換し、
「A赤白・B赤白・C赤黒」⇒「B赤白・A赤白・C赤黒」
と変更されたとしても、それは既にこの計算法によってカバーされており、改めて2倍する必要はないことがわかります。
(気合入れて読むところ終了)
従って、
「Aが赤白・Bが赤白・Cが赤黒」
「Aが赤白・Cが赤白・Bが赤黒」
「Bが赤白・Cが赤白・Aが赤黒」
の組合せを考慮して3倍し、(2)の場合の数は、
24×3=72通り
となります。
(3)赤黒・赤黒・赤白
お気づきかもしれませんが、これは()と全く同じ条件です。計算する必要ありません。72通りです。
(1)(2)(3)を合計して、288通り。
288通り÷630通り=16/35
以上です。案外長くかかってしまった。
確率は説明が難しいです。わかりやすく書いたつもりなのですが、質問者さんと私とでこだわる箇所が異なったりするので、わかりにくいかもしれません。
不明な点ありましたらお礼欄にどうぞ。
いえ!とてもよく分かりました!ここまで丁寧に説明していただきありがとうございます。
やはり自分の予想していた点が間違いだったのですね。前述しましたが、確率はほんとに苦手なのでこういう考えが入ってくるとほんとに止まってしまいます。以後このような考えも取り入れてやっていきたいと思います!本当にありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
No.1です。
No.2さんと質問者さんとで問題に対する解釈が違いますね。
No.2さんは「A・B・Cそれぞれが、お互いに他人と異なる玉を取る」という解釈。
質問者さんは「A・B・Cら3人とも、手持ちの2玉の色が異なる」という解釈。
模範解答が16/35ということは、質問者さんの解釈が正解のようですね。(しかしこの問題文では題意が伝わりにくいです)
さて回答なのですが、確率の問題は「何を全体集合とするか(何を分母とするか)」によって解き方が変わってきます。
今回、分母をいくつに設定するのが良いか考えて見ましょう。
A・B・Cの3人が2個ずつ取るのですから、計6個取ることになりますね。
つまり7個から6個取るのですから、その取り方は
7P6[通り]です。
この数え方は
Aさんの最初に取る玉
Aさんの2番目に取る玉
Bさんの最初に取る玉
Bさんの2番目に取る玉
Cさんの最初に取る玉
Cさんの2番目に取る玉
の6つを全て区別した数え方です。
もし「Aさんの手持ち2個については区別しないよ」というのであれば、分母は
7C2×5C2×3C2
となり、先ほどの値とは別になってきます。
さて、ここまではわかりましたでしょうか?
できればどちらの解き方で解説すれば良いか、方針を決めてくださると助かるのですが。
ここまでは大丈夫です!
確率において、同じ色の玉やカードなどの区別の有無は自分の好きなように決めていいが、その際に分母と分子の数え上げは同じ基準で考える。ということは理解しています。
僕は回答者様のほうですと後者を取って考える事が多いので(というか前者はちょっと苦手です...確率自体かなり苦手ですので...)、後者で説明していただけると幸いです。よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
そもそも解釈を間違っていないか?
せめて確率の問題を聞くならば答えの
値を載せてくれないと・・・・・
(実際、聞かれて一番答えにくい分野)
>三人がそれぞれ異なる色の玉を取り出す確率
だから、、、赤をR、白をW、黒をBと置くと
A B C
パターン1R W B
パターン2R B W
パターン3W R B
パターン4W B R
パターン5B R W
パターン6B W R
の計6パターンじゃないかな?
で、各パターンの起こる確率同じだから
全体の確率=一つのパターンの起こる確率*3!
A B C
パターン1R W B
の生じる確率は
(3C2/7C2)*(2C2/5C2)*(2C2/3C2)=1/70
1/210*3!=1/35←答
になりませんか?
質問の中の
{(3×2)×(2×1)}÷2×(1×2)×3!
の式が気になりますが、、、、括弧の使い方とか
ひとまず模範解答の値だけでも出してください。
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