テイラー展開とローラン展開は同じという事を聞いたのですが、なぜ同じなのでしょうか？

テイラー展開とローラン展開は同じという事を聞いたのですが、なぜ同じなのでしょうか？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/03 14:53

実数か複素数かという問題ではありません。

No.1 へのお礼にあなた自身が書いているように、
テイラー展開可能な関数を同じ中心でローラン展開すると
そのローラン展開はテイラー展開と一致するのです。
だから、ローラン展開はテイラー展開を含んでいると言えます。
テイラ展開は不能でローラン展開はできる場合がありますから、
テイラー展開とローラン展開は「同じ」ではありません。
正方形と長方形が同じではないのと同じような話です。

この回答へのお礼

同じ式として一致ではないが、近似式として一致するわけでしょうか？
そうならばグットを1して頂けるとありがたいです。

お礼日時：2020/03/10 18:18

No.2 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/03/03 08:04

> テイラー展開とローラン展開は同じという事を聞いたのですが

　どこからそんな間抜けな情報を仕入れたのですかwwww

この回答へのお礼

ヤフー知恵袋です。
下に書いた内容はコピーした、ものです。では、どう展開しても同じものにはならないのですね？

お礼日時：2020/03/03 08:11

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/03 07:49

テイラー展開は実数の級数、ローラン展開は複素数の級数で同じではありません。

テイラー展開⊂ローラン展開の関係です。

この回答へのお礼

ローラン展開はテイラー展開の一般化です。特異点以外でローラン展開しようとすると自動的にテイラー展開になります。それぞれの展開の具体的な形は以下の通りです。

z=a周りでのテイラー展開
f(z)
=Σ[n=0,∞]f⁽ⁿ⁾(a)(z-a)ⁿ/n!
=f(a)+f⁽¹⁾(a)(z-a)+f⁽²⁾(a)(z-a)²/2+f⁽³⁾(a)(z-a)³/6+...

z=a周りでのローラン展開
f(z)
=Σ[n=-∞,∞]a[n](z-a)ⁿ
=...+a[-3]/(z-a)³+a[-2]/(z-a)²+a[-1]/(z-a)
+a[0]+a[1](z-a)+a[2](z-a)²+a[3](z-a)³+...

ただしa[n]=(1/2πi)∲{f(w)/(w-a)^(n+1)}dw
>なぜ同じになるのでしょうか？

複素関数は正則な点周りではテイラー展開できます。ローラン展開しようとして、係数を求めるとローラン展開の係数のうち負冪の係数a[-1],a[-2],a[-3],...は0になってしまい、それ以外の係数はテイラー展開の係数と同じになります。

らしいです。
ローラン展開を実数で行ったらテイラー展開とおなじという事はあるのですか？
実数は複素数にできないので逆は無理ですが

お礼日時：2020/03/03 07:56