微分方程式 (d^2)/(dx^2)+y = sinx の一般解

y1(x) = cos x, y2(x) = sin xが
(d^2y)/(dx^2) + y = 0の基本解であることを用いて
微分方程式 (d^2)/(dx^2)+y = sinx の一般解を求めよ。

の解き方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/09 23:23

斉次基本解がもう見つかっているから、

あとは特殊解をひとつ見つけるだけでいい。

y = f(x) y１(x) と置いてみると、
0 = y’’ + y - (sin x) = { f’’ (cos x) + 2 f’ (-sin x) + f (-cos x) } + f (cos x) - (sin x)
= f’’ (cos x) - (2f’ + 1)(sin x).

2f’’/(2f’ + 1) = 2(sin x)/(cos x) となる f がひとつあればいいことになる。
両辺を積分して、log|2f’ + 1| = -2 log|cos x| + C　(C は定数).
よって 2f’ + 1 = D/(cos x)^2　(D = ±e^C ≠ 0).
勝手に D = 1 と決めて再度積分すれば、 2f + x = (tan x) + E　(E は定数).
勝手に E = 0 と決めれば、y = (1/2){ (tan x) - x }(cos x) = (1/2){ (sin x) - x(cos x) }.
基本解の定数倍を足してもやはり特殊解だから、 y = (-x/2)(cos x) が挙げられる。

以上より、一般解は y = (-x/2)(cos x) + A (cos x) + B (sin x)　(A,B は定数).

この回答へのお礼

丁寧に回答くださいましてありがとうございます
式をおってみます

>斉次基本解がもう見つかっているから、
>あとは特殊解をひとつ見つけるだけでいい。

そうなんですね。まだこの意味がわかりませんが勉強していきます。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2020/03/09 23:54