No.3ベストアンサー
- 回答日時:
sin、cosは、基本的に初等関数という「関数」です。
ですので、f(x)=cos^2(x)ならば、∫f(x)dxは原始関数がわかれば解けるという話になる。
cosx=tとして解くならば、dx=-dt/√(1-t^2)の変換が必要。
No.2
- 回答日時:
cos^2(x) = A (A)
とおいて、
∫AdA = (A^2)/2 + C
にどうしてならないのか、とか
cos(x) = B (B)
とおいて、
∫(B^2)dB = (B^3)/3 + C
にどうしてならないのかということですか?
(いずれにしても、画像の式はどのようにして導いたのか全く分かりませんが)
(A)の場合も、(B)の場合も、
dx≠dA, dx≠dB
だからです。勝手に変数を適当に置き換えてはいけません。
試しにやってみると、
dA/dx = -2cos(x)sin(x)
なので
dx = -[1/2cos(x)sin(x)]dA
となって、この場合は変数をうまく A に変換できません。
また、
dB/dx = -sin(x)
なので
dx = -[1/sin(x)]dB
となって、この場合も変数をうまく B に変換できません。
cos^2(x)を積分する場合には、公式の求め方に載っていると思いますが、
cos^2(x) = cos(x) * cos(x) = [ 1 + cos(2x) ] / 2
を使って、
∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)∫[1 + cos(2x)]dx
= (1/2)∫dx + (1/2)∫[cos(2x)]dx
ここで、Z = 2x とおくと
dZ/dx = 2
より
dx = (1/2)dZ
なので
∫[cos(2x)]dx
= (1/2)∫[cos(Z)]dZ
= (1/2)sin(Z) + C1
= (1/2)sin(2x) + C1
これを使って、
∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)∫dx + (1/2)∫[cos(2x)]dx
= (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C
このままでもよいと思いますが、
sin(2x)= 2sin(x)cos(x)
を使えば、No.1さんの
∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)x + (1/2)sin(x)cos(x) + C
になります。
No.1
- 回答日時:
>sin^2θやcos^2θを
そのまま積分してはいけない理由を
教えてください
「そのまま」の意味の取り方が不明ですが、公式集を見て代入すればOKという意味ではそのままできます。
なお、写真の式は根本的に間違っています。正しくは
∫cos^2xdx=(1/2)sinxcosx+x/2+Cです。
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