No.3ベストアンサー
- 回答日時:
sin、cosは、基本的に初等関数という「関数」です。
ですので、f(x)=cos^2(x)ならば、∫f(x)dxは原始関数がわかれば解けるという話になる。
cosx=tとして解くならば、dx=-dt/√(1-t^2)の変換が必要。
No.2
- 回答日時:
cos^2(x) = A (A)
とおいて、
∫AdA = (A^2)/2 + C
にどうしてならないのか、とか
cos(x) = B (B)
とおいて、
∫(B^2)dB = (B^3)/3 + C
にどうしてならないのかということですか?
(いずれにしても、画像の式はどのようにして導いたのか全く分かりませんが)
(A)の場合も、(B)の場合も、
dx≠dA, dx≠dB
だからです。勝手に変数を適当に置き換えてはいけません。
試しにやってみると、
dA/dx = -2cos(x)sin(x)
なので
dx = -[1/2cos(x)sin(x)]dA
となって、この場合は変数をうまく A に変換できません。
また、
dB/dx = -sin(x)
なので
dx = -[1/sin(x)]dB
となって、この場合も変数をうまく B に変換できません。
cos^2(x)を積分する場合には、公式の求め方に載っていると思いますが、
cos^2(x) = cos(x) * cos(x) = [ 1 + cos(2x) ] / 2
を使って、
∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)∫[1 + cos(2x)]dx
= (1/2)∫dx + (1/2)∫[cos(2x)]dx
ここで、Z = 2x とおくと
dZ/dx = 2
より
dx = (1/2)dZ
なので
∫[cos(2x)]dx
= (1/2)∫[cos(Z)]dZ
= (1/2)sin(Z) + C1
= (1/2)sin(2x) + C1
これを使って、
∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)∫dx + (1/2)∫[cos(2x)]dx
= (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C
このままでもよいと思いますが、
sin(2x)= 2sin(x)cos(x)
を使えば、No.1さんの
∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)x + (1/2)sin(x)cos(x) + C
になります。
No.1
- 回答日時:
>sin^2θやcos^2θを
そのまま積分してはいけない理由を
教えてください
「そのまま」の意味の取り方が不明ですが、公式集を見て代入すればOKという意味ではそのままできます。
なお、写真の式は根本的に間違っています。正しくは
∫cos^2xdx=(1/2)sinxcosx+x/2+Cです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 物理の問題です。 1 2022/12/20 23:04
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです。 1 2022/07/17 02:36
- 高校 数3 面積 4 2022/05/11 12:37
- 数学 sinA+sinBは、A=(α+β),B=(α-β)と置き換えて sin(α+β)=sinαcosβ 2 2022/08/23 08:06
- 数学 【 数Ⅰ 180°ーθの三角比 】 ①sin(180°−θ)=sinθとなる理由 ②cos(180° 4 2022/10/15 17:08
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 数学 sin^2xを置換積分法を使用して積分したらどのようになりますか? 答えは1/2x-1/4sin2x 4 2022/07/24 22:11
- 数学 線形代数の行列についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:46
- 数学 413(2)の最後から2行目から最後の行の 4∮みたいな積分って何したんですか? sin^5θなどの 2 2022/07/21 00:13
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
△ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積...
-
長方形窓の立体角投射率
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
心臓形の重心
-
(cos(x))^1/2の不定積分
-
方程式 cosx+cos3x=0 を解け.
-
a>0とする。曲線y=sin2x(0≦x≦π...
-
微分方程式
-
画像の図のように展開して1/ co...
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
Σは二乗されないのですか?
-
cos2θ−3cosθ+ 2≧0の不等式を解...
-
内積の問題で角度を与えられて...
-
面積分の計算
-
これは二倍角の公式ですか?
-
cos40°の値を求めています。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
フーリエ級数|cosx|
-
三角関数の問題
-
cos(2/5)πの値は?
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
長方形窓の立体角投射率
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
面積分の計算
-
x=rcosθ の微分
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
t×cos(wt)のラプラス変換が分...
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
極座標の偏微分について
-
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積...
-
-cosθ=cos2θってθについてどう...
-
三角関数
-
三角関数で、
-
三角関数
おすすめ情報