大学数学の問題などではないのですが、 こちらの以下のサイトを元にローラン展開の導き方と使い方を勉強し

大学数学の問題などではないのですが、
こちらの以下のサイトを元にローラン展開の導き方と使い方を勉強しているのですが、理解力が低いため思うように理解できません。どうかローラン展開の導き方の過程と使い方わかりやすく教えていただきたいです。

https://batapara.com/archives/laurent-series.html/

特に一枚目の画像でどうやってΣが消えて∫が出てきたのか、f(z)=の右辺には2πiなどはないのにAn＝の式では2πiやdzやn+1がどうやって出てきたのかわかりません。
他にはローラン展開の式を作るのにコーシー積分を使ったようですが、なぜコーシー積分を使ったのかわかりません。
なんにしても、ローラン展開の導き方の過程と使い方わかりやすく教えていただきたいです！

質問者からの補足コメント

• ありものがたりさんありがとうございます。
  ちなみに、なぜ画像のように2πiと0のように導けるのでしょうか？
  直交性とか関係あるのでしょうか？

  
    補足日時：2020/03/15 11:26

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/15 14:47

コーシーの積分定理は使っていませんけど？

m < -1 のとき、z^-m は c0 の内部で正則ではありません(z = 0 がある)が、
∮[C0]{ z^m }dz = 0 は成り立ちます。これは、正則性などから導かれる
積分の一般的な性質というよりは、z^-m の個性というか各論です。
ローラン展開において留数が重要な理由や、留数定理の根拠は、この
ｍ = -1 のとき ∮[C0]{ z^m }dz = 2πi,
m ≠ -1 のとき ∮[C0]{ z^m }dz = 0 にあるのですが。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/15 12:29

m ≠ -1 のとき ∮[C0]{ z^m }dz = 0 となるのは、

m ≠ -1 であれば ∫{ z^m }dz = {1/(m+1)} z^(m+1) + (定数)
と不定積分できるからです。
C0 の周と内部で正則な原始関数が在れば、
C0 上での閉路積分の値は 0 です。

m = -1 のときは ∫{ z^-1 }dz = log(z) + (定数) ですが、
log(z) は z = 0 に特異点を持ち
C0 の内部で正則になるように延長できません。
∮[C0]{ z^-1 }dz の値が 2πi になる理由は、
π を定義する方法しだいで説明のしかたが違ってきます。
∮[C0]{ z^m }dz = 2πi 自体を π の定義としてしまっても、
小学校以来の円周率の定義と同じことなのですが...

この回答へのお礼

ありがとうございます。ちなみに、ローラン展開を導くのに、なぜコーシー積分を使ったのでしょうか？

お礼日時：2020/03/15 14:38

No.2 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/03/14 20:43

一連の質問を見る限り、そもそも周回積分の何たるかを、いやそれ以前に線積分の知識さえないように思えるけど。

　であれば、回答するのはまことに大変である。
　やさしい関数論の本と格闘した方がいいと思うけどね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/14 19:44

青で囲われた式 f(z) = Σ[k=-∞,+∞] (A_k)(z-a)^k の両辺に

(z-a)^(n+1) を掛けてから、積分 ∮[C] をしてみましょう。
∮[C]{ f(z)/(z-a)^(n+1) }dz = ∮[C]{ Σ[k=-∞,+∞] (A_k)(z-a)^(k-n-1) }dz
= Σ[k=-∞,+∞] (A_k) ∮[C]{ (z-a)^(k-n-1) }dz となりますが、
k-n-1= -1 のとき ∮[C]{ (z-a)^(k-n-1) }dz = 2πi,
k-n-1≠ -1 のとき ∮[C]{ (z-a)^(k-n-1) }dz = 0 なので、結局
∮[C]{ f(z)/(z-a)^(n+1) }dz = (A_n)・(2πi) となります。
この式を変形したものが、A_n = (1/2πi) ∮[C]{ f(z)/(z-a)^(n+1) }dz です。

別段、Σ が ∮ に変化したわけでもないのでした。
∮[C] が出てきた理由は、原点を囲む閉曲線 C0 について
ｍ = -1 のとき ∮[C0]{ z^m }dz = 2πi,
m ≠ -1 のとき ∮[C0]{ z^m }dz = 0 であることが A_n の計算に利用できるからです。