これの変形ってどうしてこうなるのですか？

これの変形ってどうしてこうなるのですか？

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/01 07:43

ｆ(x)g(x)の微分は

（ｆ(x)g(x)）’＝ｆ(x)’g(x)＋ｆ(x)g(x)’　移項して両辺積分すれば
∫ｆ(x)’g(x)＝ｆ(x)g(x)ー∫ｆ(x)g(x)’　てえ、部分積分だ
この問題のｆ(x)’＝{（ｘ²－２)/2}'=x、g(x)＝log(x²－２）とすれば
∫ｆ(x)’g(x)＝∫{（ｘ²－２)/2}'＊log(x²－２）=（ｘ²－２)/2*log(x²－２）-∫（ｘ²－２)/2*{log(x²－２）}'
=（ｘ²－２)/2*log(x²－２）-∫（ｘ²－２)/2*2x/（ｘ²－２)
=（ｘ²－２)/2*log(x²－２）-∫x
=（ｘ²－２)/2*log(x²－２）-x²/2+C
　
ｆ(x)’＝{（ｘ²－２)/2}'=xと置いたのがミソだ、

-∫（ｘ²－２)/2*2x/（ｘ²－２)＝-∫x　になるからな。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/01 10:08

部分積分をするために、「微分して x になる項」にしただけ。

(x^2 /2)' = x でもよいのだけど、log の中の項「x^2 - 2」と等しくなるように

[(x^2 - 2)/2]' = x

とおいている。
ちょっと技巧的かも。

別解として、「置換積分」を使って
　x^2 - 2 = u
とおいて
　x^2 = u + 2
→　x = ±√(u + 2)
より
　dx/tu = ±(1/2)/√(u + 2) = 1/(2x)

従って
　∫x･logdx (x^2 - 2)= ∫xlog(x^2 - 2)･(dx/du)du = ∫xlog(u)･[1/(2x)]du = (1/2)∫log(u)du
= (1/2)[ulog(u) - u + C']　　←これは「対数の積分」公式をそのまま使った
= (1/2)[(x^2 - 2)log(x^2 - 2) - (x^2 - 2) + C']　　←u を元に戻す
= (1/2)(x^2 - 2)log(x^2 - 2) - (1/2)x^2 + C　（C' , C は積分定数で C = (1/2)C' + 1）


ところで、手書きの１行目で、左の式から右の式に変換した意味は何？　しかも dx が落ちているし。