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数1aの整数問題についてです。

-m^2-m+2が平方数となるmが答えになるのはなぜでしょうか?

そもそも、平方数というのがよく分かりません。0は平方数で、2は平方数ではないのですか?どちらも(整数)^2=(0)^2=(2)^2と表せるような気がするのですが。

例えばm=-1, -m^2-m+2=2だと、x=-1+√2となり、解xが整数にならないため不適切であるということでしょうか?

教えてください。

「数1aの整数問題についてです。 -m^2」の質問画像
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A 回答 (4件)

その二次方程式の解は、解公式より x = m ± √(-m^2 - m + 2) であって、


右辺第一項の m が整数であることから、解 x が整数であることと
√(-m^2 - m + 2) が整数であることが必要十分になるからです。
√(-m^2 - m + 2) が整数ということは、√(-m^2 - m + 2) = k と置くと
-m^2 - m + 2 = k^2, k は整数だということですからね。
ある整数によって (整数)^2 と書ける数のことを「平方数」というのです。

0 は、0 = 0^2 と書けるから平方数です。
4 = (2)^2 と表せることからは、4 が平方数であることが判ります。
2 = (±√2)^2 ですが、√2 は整数でないので、2 は平方数ではありません。
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>平方数というのがよく分かりません



「平方数」とは 自然数の二乗で表せる数の事です。
2 は (整数)² では 表せないですから、平方数ではありません。
後半の文章「例えばm=-1, ・・・だと、x=-1+√2となり、解xが整数にならないため不適切・・・」は
その通りです。

平方数で具体的には 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25,
6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100 。
ここまでは 小学校の 九九で習っている筈です。
11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225, 16²=256,
この辺までは 覚えておくと 因数分解などで 役立つことがあります。
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1²=1


2²=4
3²=9
というように、1,4,9はある整数の2乗となっています。
このような整数(自然数に限定することも多いです)の2乗の計算結果である数を平方数と言います
逆を言えば平方数とは、ルートをつけると整数になる数のことです
→2=√2² だから 2は整数を2乗した結果ではありません、したがって2は平方数とは言えません

さてこの問題は2次方程式の解がx=整数でなければいけません
と言うことは、mがせいすうなので、x=m±√-m²-m+2のルート部分が純粋な整数に変わってくれないといけないのです
(√部分が整数に変わらないと x=m±√-m²-m+2=整数m+無理数=無理数 となるので これは解が無理数になってしまいます)
ルート部分が整数に変わるためには ルートの中身が2乗の形であらわされることが必要です
つまり、-m²-m+2=(整数)² とならないといけないということです(参考 -m²-m+2=(自然数)² ⇔√-m²-m+2=√(自然数)²=自然数) 
そのためには、-m²-m+2=0²、または-m²-m+2=1² または-m²-m+2=2² などでなければいけないのです
このことを、解答では「平方数」という言葉を持ち出して説明しています
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>2は平方数ではないのですか?


>(2)^2と表せる

いやいや「2」は 2 = (√2)^2 ですよ。
2^2 = 4 だから、「4」が平方数です。

0 = 0^2
1 = 1^2
4 = 2^2
9 = 3^2
なので、「0, 2, 4, 9・・・」が平方数です。

平方根が外せるのは
 √(A^2) = |A|
です。
なので平方根の中が「平方数」なら、平方根が外せます。

二次方程式の一般解が
 x = m ± √(-m^2 - m + 2)
なら
 -m^2 - m + 2 = A^2 (A:整数)
なら
 x = m ± |A|
と書けてこれが整数になるわけです。
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