統計学の質問④ t検定

お世話になります。
以下の問題に対して解答を作成したので、添削をお願いします。

問題
成人と高校生の睡眠時間を評価するため、成人12人と高校生10人の睡眠時間を調べた。
成人の平均睡眠時間：7.0
成人の不偏分散：1.2
高校生の平均睡眠時間：6.5
高校生の不偏分散：1.0

成人と高校生の睡眠時間の母分散に等分散性を仮定したとき、成人の平均睡眠時間と高校生の平均睡眠時間は等しいかどうかを有意水準5%で検定しなさい。
ただし、成人と高校生の睡眠時間は正規分布に従っているとし、自由度20のt分布の上側2.5%点は2.086とする。

解答
まず、t値を求める。
t=(7.0-6.5)/√{(1.2/12)+(1.0/10)}=0.5/√0.2=0.5*√0.2/0.2=2.5*√0.2=1.118

t値が自由度(12+10-2)=20のt分布に従う。
よって、自由度20のt分布の上側2.5%点は2.086であるので、成人と高校生の平均睡眠時間が等しい時、状況のようなデータが得られる確率は0.05以下ではない。
よって、帰無仮説「成人の平均睡眠時間と高校生の平均睡眠時間は等しい」は有意水準5%以下で棄却されない。

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/04/06 09:12

#1です。

すみません。私の回答は、早とちりかもしれません。
と申しますのは・・・

成人の平均睡眠時間と高校生の平均睡眠時間は「等しいかどうか」検定せよ、と本当に書いてありましたか。それは、まともな教科書ですか。

「違いがあるか検定せよ」ではなく「等しいかどうか検定せよ」と書いてあると、通常のｔ検定ではダメで「同等性の検定」という方法を使わなければなりません。

でも、差と判断すべきΔの値や、サンプルサイズの検討、第２種の過誤βの値が必要で、これらが問題文にはありませんから、単なるｔ検定の問題としか考えられません。すると。これは出題者が「大いなる勘違い」をしているとしか考えられません。

学校や企業内研修で学ばれたと思いますが、ｔ検定で有意にならないときは、「差があるとは言えない」のであって「等しい」わけではありません。

正解は
『等しいかどうかは、これらの情報からは判断できない』です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/06 18:54

「等しくないとは言いきれない」に一票。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/04/06 08:54

企業でSQCを推進する立場の者です。

正解です。

とは言っても「証拠は？」ということになるので、
Rという統計ソフトで作った２次データ（既に平均とかになっているデータ）を使って行う検定のプログラムによって処理した結果を示します。一番下から6行目です。

data:
t = 1.1084, df = 20, p-value = 0.2809

と計算されました。

ちなみに、一番下の行はウェルチの式を使って合併分散を計算した場合です。
もちろん、帰無仮説は棄却されません。
ご参考まで。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

# t-test

rm(list=ls())

# 2次データを使用したt検定（関数として定義）

two.value.t.test <- function(
n1, # 第1群のデータ個数
m1, # 第1群の平均値
v1, # 第1群の不偏分散
n2, # 第2群のデータ個数
m2, # 第2群の平均値
v2, # 第2群の不偏分散
key) # TUREならウェルチ
{
if(key){
# ウェルチの方法を使う場合
method <- c("Welch Two Sample t-test")
c <- (v1/n1)/(v1/n1+v2/n2) # 補正値
df <- 1/(c^2/(n1-1)+(1-c)^2/(n2-1)) # 修正自由度
tvalue <- abs(m1-m2)/sqrt(v1/n1+v2/n2) # 検定統計量
}else{
# 等分散を仮定して合併分散を用いる場合
method <- c("Two Sample t-test")
df <- n1+n2-2 # 自由度
v <- ((n1-1)*v1+(n2-1)*v2)/df # プールした不偏分散
tvalue <- abs(m1-m2)/sqrt(v*(1/n1+1/n2)) # 検定統計量
}
P <- 2*pt(tvalue,df,lower.tail=FALSE) # P値（両側検定）
names(tvalue) <- c("t")
names(df) <- c("df")
result <- list(method=method,statistic=tvalue,parameter=df,p.value=P)
class(result) <- c("htest")
return(result)
} # 関数定義終わり


> two.value.t.test(12,7,1.2,10,6.5,1,FALSE)

Two Sample t-test

data:
t = 1.1084, df = 20, p-value = 0.2809

>
> two.value.t.test(12,7,1.2,10,6.5,1,TRUE)

Welch Two Sample t-test

data:
t = 1.118, df = 19.8, p-value = 0.2769