平方数の和

(4^2+5^2+6^2+7^2)(8^2+9^2+10^2+11^2)=a^2+b^2+c^2+d^2となる整数a,b,c,dを求めよ。
と言うのが問題です。
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2という関係は分かっているのですが、どう応用していったらいいのかわかりません。
できるだけ詳しく教えて欲しいです。よろしくお願いします。

No.3 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/01/18 05:09

(x^2+y^2+z^2+w^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)=(xe+yf+zg+wh)^2+(xf-ye-zh+wg)^2+(xg-ze+yh-wf)^2+(xh-we-yg+zf)^2

という関係があります。
x=4,y=5,z=6,w=7,e=8,f=9,g=10,h=11として計算すると
a=214,b=0,c=-16,d=-8となります。

実際
(4^2+5^2+6^2+7^2)(8^2+9^2+10^2+11^2)=214^2+0^2+16^2+8^2=46116となります。

よってa=214,b=0,c=-16,d=-8が求める解のひとつである。

あとは
1.x,y,z,wの値のどれかの符号を入れ替えて
2.e,f,g,hの値のどれかの符号を入れ替えて
上記のような計算をすれば、他の解も求まるでしょう。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/01/11 13:48

(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 という式は, 実は複素数 x = a+bi, y = c+di に対して |x|^2 |y|^2 = |xy|^2 という式と全く同じだったりします.

で, 4つにするとどうなるかというと複素数の代わりに「四元数」というのを使うと全く同じことができちゃったりします.

理論的には 8個でもやはり同じような式を作ることができますが, きっと覚えられない....

No.1 回答者： hogehogeninja 回答日時： 2005/01/11 04:42

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

は計算すると-2abcdと+2abcdの項が打ち消し合うことがお味噌です。

同じ式を
(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)
にも作ってやればいいのでは？

具体的には、
式＝
+(ae)^2+(af)^2+(ag)^2+(ah)^2
+(be)^2+(bf)^2+(bg)^2+(bh)^2
+(ce)^2+(cf)^2+(cg)^2+(ch)^2
+(de)^2+(df)^2+(dg)^2+(dh)^2

から、行と列から一回ずつえらび
（aを含む項を選んだら残りの項にはaを含む項は選ばない、
eを含む項を選んだら残りにはeを含む項を選ばない）
適当な４項を取り出して
(ae?bf?cg?dh)^2
を作ります。（aeの項は自乗ですから一般性を失わずに＋にとれます）
（また、選び方に任意性があります）
?には+か-が入ります。
残りの項も適当に組み合わせて、
与式＝
(ae?bf?cg?dh)^2+
(af?be?ch?dg)^2+
(ag?bh?ce?dg)^2+
(ah?bg?cf?de)^2

です。
あとは適当に符合をきめてやればいいのですが、
やはり任意性があります。

このような式の中の一つは

(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)=(ae+bf+cg+dh)^2+(af-be+ch-dg)^2+(ag-bh-ce+df)^2+(ah+bg-cf-de)^2
です。（間違ってたらごめんなさい。。）

------------------------------------------------------------



(a^2+b^2)(c^2+d^2)
の式では、
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
と
(ad+bd)^2+(ad-bc)^2
の二通りあって、与えられた類いの問題では２通りの別の解を与えます。

同じように、式を作るとき、はじめの項の選び方と符合の選び方の
任意性によって複数の解を与えます。

ただ、例題「(a^2+b^2)(c^2+d^2)を二つの整数の平方数の和で表せ」といったとき、
上の二つが解の全てかどうかは定かではありませんが、、、ご容赦を。


本題で、任意性を網羅して得た全ての組み合わせはすべて解になりますが、
解のすべてかどうかは分かりません。


------------------------------------------------------

ご参考になれば。