高校3年生の楕円の方程式を求める問題です。 「点O(0,0),A(1,1)からの距離の和が2である点

高校3年生の楕円の方程式を求める問題です。
「点O(0,0),A(1,1)からの距離の和が2である点P（x,y)の集合を方程式で表せ。」
できれば標準形での回答をお願いします。
途中で文字が消去されず、
3x^2+3y^2-2xy-2x-2y-1=0
となってしまいます…

質問者からの補足コメント

• すみません、標準形ではなく一般形でお願いします！

    補足日時：2020/05/13 20:35

No.5 回答者： springside 回答日時： 2020/05/14 11:26

素直に「点O(0,0),A(1,1)からの距離の和が2」を表すと、

　√(x²+y²)+√{(x-1)²+(y-1)²}=2

となるから、これを変形すると、

　3x²+3y²-2xy-2x-2y-1=0

となり、あなたの計算は正しい。

これを標準形にしたければ、図形的に考えて、

　x軸方向に-1/2、y軸方向に-1/2移動させ、その後、45°（又は-45°）回転させる。

という操作をすればいい。

x軸方向に-1/2、y軸方向に-1/2移動させるには、xにx+(1/2)、yにy+(1/2)を代入すればいいから、それを計算すると、

　3x²-2xy+3y²-2=0

となって、さらに45°回転させるために、xに(1/√2)(x-y)、yに(1/√2)(x+y)を代入すればいいから（※）、それを計算すると、

　x²+2y²-1=0

となって、めでたく標準形になった。

※：1次変換の回転の行列を使う。

No.4 回答者： seiji91 回答日時： 2020/05/14 01:23

3年生なら頑張らんとねぇ・・

イメージとしては、点Oと点Aに釘打って、長さ２の紐で結んで、紐を引っ張ってグルっと回した形だってのは見えますよね。
となると、点（1,0）と点（0.1）通るでしょ？代入したら成り立つから、あってんじゃない？

一般解という点では、さっき書いたように、
原点を中心とする楕円の一般解は、
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 = 1
軸が45°回転してるのはわかりますよね？その場合の一般式は、
Ax^2 + 2Bxy + Ay^2 = 1
で、原点の平行移動　（+0.5 , +0.5）で、
A(x-0.5)^2 + 2B(x-0.5)(y-0.5) + A(y-0.5)^2 = 1
点（1,0）と点（0.1）通るから代入。残念ながら式はひとつだけ・・・
A + B = 2
じゃ、もうひと捻りして、点（1.5 , 1.5）も通るよね。そこから導かれるのは、
A + 2B = 1
なので、
A = 3, B = -1
という事で、
3(x-0.5)^2 - 2(x-0.5)(y-0.5) + 3(y-0.5)^2 = 1

展開してみて・・・
間違ってたらごめんなさい。進め方はあってるはずです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/13 21:50

特定の楕円の式を書こうってのに、「一般形で」て何や？

とりあえず、√(x^2 + y^2) + √{ (x-1)^2 + (y^1)^2 } = 2 を
変形して 3x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 2y - 1 = 0 になるという
計算は正しい。
「標準形」なら、その 3x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 2y - 1 = 0 を
標準系へ変形すればいい。

それには、まず、二次項 3x^2 + 3y^2 - 2xy を行列で
(x y) A (x y)^T と表した係数行列 A =
　　3　　　-1
　　-1　　　3
を対角化する。固有方程式 det(λE-A) = 0 を解いて
固有値 λ = 2, 4 が求まるから、それぞれの固有値について
(λE-A)v = 0 を解けば固有ベクトル
λ = 2 に対して v = (1 1)^T,
λ = 4 に対して v = (1 -1)^T が求まる。
これらの固有値と単位固有ベクトルを並べて、行列
D =
　　2　　　0
　　0　　　4,
P =
　　1/√2　1/√2
　　1/√2　-1/√2
を作れば、 A = P D (P^-1), P^1 = P^T から
(x y) A (x y)^T = ((x y) P) D ((x y) P)^T となる。
これで、3x^2 + 3y^2 - 2xy = 2(x/√2 + y/√2)^2 + 4(x/√2 - y/√2)^2
= (x + y)^2 + 2(x - y)^2 と変形できたことになる。

次に、一次項を処理する。上記から
3x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 2y = (x + y)^2 + 2(x - y)^2 - 2x - 2y となるから、
右辺の - 2x - 2y が (x + y) と (x - y) の一次式で表せればよい。
連立一次方程式を解けば一般の場合に対処できるが、
今回は、ひと目見て - 2x - 2y = -2(x + y) + 0(x - y) と判るだろう。
(x + y)^2 + 2(x - y)^2 - 2(x + y) を (x + y) と (x - y) について平方完成して、
(x + y)^2 + 2(x - y)^2 - 2(x + y) = { (x + y) - 1 }^2 - 1 + 2(x - y)^2.
よって、
3x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 2y - 1 = (x + y - 1)^2 + 2(x - y)^2 - 2 である。

以上で 3x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 2y - 1 = 0 が
(x + y - 1)^2 + 2(x - y)^2 - 2 = 0 と変形できたことになるが、
これを更に
(x + y - 1)^2 + 2(x - y)^2 = 2
(x + y - 1)^2/2 + (x - y)^2 = 1 と変形すれば
楕円の標準系 (x - x₀)^2/a^2 + (y - y₀)^2/b^2 = 1 の形をしている。

これ、数II の教科書に載ってたよね？

この回答へのお礼

行列、何もわかりません…
せっかくご回答いただいたのに申し訳ございません。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/05/13 22:15

No.2 回答者： seiji91 回答日時： 2020/05/13 21:06

原点を中心とする楕円の一般解は、

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 = 1
点O(0,0),A(1,1)で規定されてるから、原点は（0.5,0.5）と考えると、
一般解を（0.5,0.5）させて
A(x-0.5)^2 + 2B(x-0.5)(y-0.5) + C(y-0.5)^2 = 1
の形になりませんか？

この回答へのお礼

わざわざ解答まで…ありがとうございます！
すみません、私の書いた1/3が出てくる解答は間違ってるのでしょうか？

お礼日時：2020/05/13 21:38

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2020/05/13 20:39

計算してなくて、直感的な意見ですが、

45°傾いて、平行移動もしてるから・・・消えないんじゃない？？

原点を中心とする楕円の一般解は、
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 = 1
ですよね？
x と y を、＋0.5平行移動するから、x, yの項も残ると思いますよ。
まずは、解いた解を括ってみては？？

この回答へのお礼

平方完成して
3(x^2 -1/3)^2+ 2xy + 3(y^2-1/3)^2-1/3 = 0
という形になりました！
これでちゃんとした解答になってるのでしょうか？

お礼日時：2020/05/13 20:58