数bの数列についてです。 画像の問題についてですが、 一般項は、2^(n-1)。n項までの和はシグマ

数bの数列についてです。

画像の問題についてですが、

一般項は、2^(n-1)。n項までの和はシグマ記号を使って、2^(n)-1となるのではないでしょうか？

一般項を求めるのに、なぜ等比数列の和を使っているのかが分かりません。

また、等比数列の和をシグマ記号に当てはめているのも分かりません。シグマ記号には、一般項を当てはめるのではないですか？

教えてください。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/17 15:57

足し算形式でややこしく書かれていますが

初項=a1＝１
2項=a2＝1+2=3
3項=1+2+4=7
4項=1+2+4+8=15
という2の累乗ずつ増えていく数列です
ゆえに一般項を2^(n-1)としてしまうと2項目から矛盾してしまします
正しくは、この数列は2^(n-1)ずつ増えているというのがこの数列の真実なのです・・・つまり　a[n-1]+2^(n-1)=a[n]となっています
試しに確認　n=4とすれば　a3+2³=a4　となり矛盾なし
ゆえに、a1からanまでの和も質問者さんの考えたようなものにはなりません！

さて一般項とは　要するに数列の第n項のことですから　anを求めればよいのです！　
（だから、純粋にan=を導くことに意識を集中して、一般項を求めるのに数列の和を使うのはおかしいのではないかなどということは考えてはいけません）
ただこの数列は　1,3,7,15、３１・・・ですから、この並びからanを求めることは難しいかもしれません

そこでこの問題では　
a1=1
a2=1+2
a3=1+2+4
a4=1+2+4+8という形からanを求めるほうがはるかに楽なのです
というのも、各項とも2の累乗の足し算になっているのでanが推測しやすいのです
a1=1=2⁰
2⁽²⁻¹⁾=2¹を付け加えたのがa2で
a2=2⁰+2¹
2⁽³⁻¹⁾=2²を付け加えたのがa3で
a3=2⁰+2¹+2²
という規則性を見て取り
anは2^(n-1)で終わる足し算という事が予測可能です！
一般項云々は置いておいて　純粋にanを求めた結果
an=2⁰+2¹+2²＋・・・+2^(n-1)が得られます！
これでanが求まりましたが、anは一般項なので　一般項=2⁰+2¹+2²＋・・・+2^(n-1)となるのです
ちなみに一般項やanのことは棚上げにして、
2⁰+2¹+2²＋・・・+2^(n-1)だけに意識を集中すると
2⁰,2¹,2²・・・2^(n-1) は初項１公比２項数nの等比数列ですから
2⁰+2¹+2²＋・・・+2^(n-1)は等比数列の和の公式を用いて変形可能です
数列の和の計算とΣ公式はリンクしていますからシグマを利用しても良いですが、今回はより簡単な和の公式を採用すると
2⁰+2¹+2²＋・・・+2^(n-1)={1x(2^n-1)}(2-1)=2^n-1です
これがanに等しかったことを思い出して
an=2^n-1ですから
anが一般項であるという事を思い出せば、この数列の一般項は2^n-1だ　というわけです！

まずはこれを理解していただいてΣ記号についてはもう少し理解が深まってから改めてこの問題の復習してみるようにしてみてはいかがかと思います！

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/05/17 14:34

問題自体をきちんと理解されていないようです。

>>一般項は、2^(n-1)
これは間違っています。問題をよく読んで下さい。
一般項（第n項）は、「1から2^(n-1)までを足したもの」でしょ。
だから、一般項は、1+2+4+8+…+2^(n-1)で、これは、初項1、公比2の等比数列の第1項から第n項までの和だから、1･(2^n-1)/(2-1)となって、これは、2^n-1になる。

問題は、一般項が2^n-1と表される数列の第n項までの和だから、Σ[k=1→n](2^k-1)となって、後は写真の通り。


>>シグマ記号には、一般項を当てはめるのではないですか？
だれはそんなことを決めたの？
Σ記号は、単に足し算を簡潔に書くための単なる省略記号ですよ。

1+2+3+…+nと書くより、Σ[k=1→n]kと書いた方が簡潔でしょ。
同じく、1+2+4+8+16+…+2^nと書くより、Σ[k=1→n+1]2^(k-1)と書いた方が簡潔でしょ。
ただそれだけのこと。

だからΣの右側には、例えば変数kを用いたどんな式を書いてもいい（変数kがなくてもいいけど）。
もし数列の一般項がa[n]と表されるのなら、その初項a[1]から第n項a[n]までの和を、a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n]と書く代わりに、Σ[k=1→n]a[k]と書いてもいい、というだけのこと。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/17 14:29

どの数列の一般項、どの数列の第 n 項までの和

の話をしているかが混乱している。

1 + 2 + 2^2 + 2^3 とかを見て、これは等比数列の和だな
と思ったんだろう。そのこと自体は正しいが、
問題が要求しているのは、
第 n 項が 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n であるような数列の一般項だし、
その数列の第 n 項までの和
(1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 2^2) + ... + (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n) だ。

あなたが見つけた事実を用いて、
求める一般項は Σ[k=1..n] 2^k = (2^(n+1) - 1)/(2 - 1),
第 n 項までの和は Σ[j=1..n] Σ[k=1..j] 2^k = Σ[j=1..n] (2^(ｊ+1) - 1)/(2 - 1)
になる。

2^k を Σ しても、「求める数列の」一般項が出るだけで、
「求める数列の」第 n 項までの和にはならない。
その数列の一般項を Σ しないとね。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/05/17 14:04

設問をよく見てほしい。

第2項以降は等比数列を足していっている。
よって、この数列の一般項は等比数列の和で表現される。
2^(n-1)ではただの等比数列なので、答えとしては間違っていることになる。

更に設問では、n項までの和を要求されている。
つまり、この設問は数列の和を2回行うことを要求している。