重積分

∫∫D(x^2+y^2)dxdy,D={(x,y)|-1≦x+y≦1,-1≦x-y≦1}

この問題を教えて下さい。
-1≦x+y≦1,-1≦x-y≦1ってグラフ書けなくないですか

質問者からの補足コメント

• = (1/4)∫[-1,1]∫[-1,1] { w^2 + s^2 } dwdsの∫[-1,1] { w^2 + s^2 } dwって、w^3-3+ws^2で-(6y^2+2)/3になりませんか？
  { (1/3)(1^3-(-1)^3) + (s^2)(1-(-1)) }だと2/3+2s^2っておかしくありませんか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/06/07 22:42

No.3 ベストアンサー 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/06/05 22:35

２番目の回答者様の最後の式のみ訂正が必要です。

＞= (1/4){ (2/3) + 2(1/3)(1^3-(-1)^3) }
ではなく、
= (1/4){(2/3)(1-(-1)) + 2(1/3)(1^3-(-1)^3)}
=2/3

さて、本題。
＞-1≦x+y≦1,-1≦x-y≦1のグラフを書いて、そこから~　ではだめですか？

敢えてあなたの方針に従って回答しましたが、２番目の回答者様のように変数変換した方が、積分区間に文字が混ざらなくて計算しやすいです。
ただし、それだけの回答では納得しないと思われますので、実際にあなたの方針で解いた場合を画像で加えます。

積分区間に文字が入ってしまいます。また積分区間も分ける必要があります。２番目の回答者様の解法では積分区間を分ける必要がないので、そういう意味でも計算ミスは防ぎやすいです。

ただ、いかなる時も変数変換すべきかというと否です。演習を積んでいけば、この場合は変数変換すべきかというのが分かるようになっていきます。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/07 22:57

←No.3

あ、ほんとだ。わざわざありがと。恐縮です。
やっぱ一度紙に書かないと、エディタ上で計算したらミスしますね。

この回答へのお礼

すいません。∫[-1,1]∫[-1,1] 　これって

　-1　　-1
∫　　∫
　1　　1　

ですか？←①


それとも
　1　　　1
∫　　　∫
　-1　　-1　

ですか？←②

お礼日時：2020/06/08 01:36

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/05 20:04

x+y=w, x-y=s で置換積分すればいいでしょ。

I = ∫∫[D] (x^2+y^2) dxdy =∫∫[D] { w^2 + s^2 }/2 ( 1/|J| )dwds,
J = det(
　　1　　1
　　1　　-1
) = -2,
D = { (x,y) | -1≦x+y≦1,-1≦x-y≦1 } = { (w,s) | -1≦w≦1,-1≦s≦1 }.
より、
I = ∫[-1,1]∫[-1,1] { w^2 + s^2 }/2 (1/2)dwds
= (1/4)∫[-1,1]∫[-1,1] { w^2 + s^2 } dwds
= (1/4)∫[-1,1] { (1/3)(1^3-(-1)^3) + (s^2)(1-(-1)) }ds
= (1/4){ (2/3) + 2(1/3)(1^3-(-1)^3) }
= 1/2.

この回答へのお礼

-1≦x+y≦1,-1≦x-y≦1のグラフを書いて、そこから~　ではだめですか？

お礼日時：2020/06/05 20:35

No.1 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/06/05 14:55

では、-1≦x+y、x+y≦1、-1≦x-y、x-y≦1なら書けますか？いずれもxy平面上では直線ですが。

この回答へのお礼

4つとも書けます。

お礼日時：2020/06/05 15:08