正射影について。

次の質問に答えていただきたいです。辺BCが単調減少して、辺ACが単調増加するのか？という図です。教えていただけないでしょうか？すみません。あっていますでしょうか？
https://okwave.jp/qa/q9757746.html

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/13 12:54

ABがαβの交線に垂直にならなければ間違いです

ABがαβの交線に垂直になる事を証明します

交角θで交わる2つの平面αとβがある.
平面α上にある
1辺の長さ
aの正3角形ABC
(
|AB|=a…(1)
|BC|=a…(2)
|CA|=a…(3)
)
の平面βへの正射影は,
Aの正射影をA'
Bの正射影をB'
Cの正射影をC'
とすると
|A'B'|=1…(4)
|B'C'|=2…(5)
|C'A'|=2…(6)
の2等辺3角形
A'B'C'となった

A'からαβの交線への垂線をy軸
その垂直点を原点として
αβの交線をx軸とする
{交線の方向ベクトルは(1,0,0)}
原点を通り平面βに垂直な直線をz軸とする
↑AB=(Bx,By,Bz)…(7)
↑AC=(Cx,Cy,Cz)…(8)
とすると
(8)から(7)を引くと
↑BC=(Cx-Bx,Cy-By,Cz-Bz)…(9)

(7)の絶対値をとると
|AB|=√{(Bx)^2+(By)^2+(Bz)^2}
↓これと(1)から
a=√{(Bx)^2+(By)^2+(Bz)^2}
↓両辺を2乗すると
a^2=(Bx)^2+(By)^2+(Bz)^2…(10)

(9)の絶対値をとると
|BC|=√[(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2+(Bz-Cz)^2]
↓これと(2)から
a=√[(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2+(Bz-Cz)^2]
↓両辺を2乗すると
a^2=(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2+(Bz-Cz)^2…(11)

(8)の絶対値をとると
|AC|=√{(Cx)^2+(Cy)^2+(Cz)^2}
↓これと(3)から
a=√{(Cx)^2+(Cy)^2+(Cz)^2}
↓両辺を2乗すると
a^2=(Cx)^2+(Cy)^2+(Cz)^2…(12)

平面βの式はz=0で
↑A'B'は↑ABのβへの正射影だから(7)から
↑A'B'=(Bx,By,0)
↓絶対値をとると
|A'B'|=√{(Bx)^2+(By)^2}
↓これと(4)から
1=√(Bx)^2+(By)^2}
↓両辺を2乗すると
1=(Bx)^2+(By)^2…(13)
↓これを(10)に代入すると
a^2=1+(Bz)^2…(14)

平面βの式はz=0で
↑B'C'は↑BCのβへの正射影だから(9)から
↑B'C'=(Cx-Bx,Cy-By,0)
↓絶対値をとると
|B'C'|=√{(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2}
↓これと(5)から
2=√{(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2}
↓両辺を2乗すると
4=(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2…(15)
↓これを(11)を代入すると
a^2=4+(Bz-Cz)^2…(16)

平面βの式はz=0で
↑A'C'は↑ACのβへの正射影だから(8)から
↑A'C'=(Cx,Cy,0)
↓絶対値をとると
|C'A'|=√{(Cx)^2+(Cy)^2}
↓これと(6)から
2=√{(Cx)^2+(Cy)^2}
↓両辺を2乗すると
4=(Cx)^2+(Cy)^2…(17)
↓これを(12)を代入すると
a^2=4+(Cz)^2…(18)
↓これと(14)から
1+(Bz)^2=4+(Cz)^2
↓両辺に-1を加えると
(Bz)^2=3+(Cz)^2>0…(19)

(16)=(18)から
4+(Bz-Cz)^2=4+(Cz)^2
↓両辺に-4を加えると
(Bz-Cz)^2=(Cz)^2
↓両辺に-(Cz)^2を加えると
Bz(Bz-2Cz)=0
↓(19)からBz≠0だから
Bz-2Cz=0…(20)

平面αの式はz=ytanθ
だから
ABはα上のベクトルだから(7)から
Bz=Bytanθ…(21)
ACはα上のベクトルだから(8)から
Cz=Cytanθ
となる
↓これと(21)を(20)に代入すると
Bytanθ-2Cytanθ=0
(By-2Cy)tanθ=0
↓tanθ≠0だから
By-2Cy=0
↓両辺に2Cyを加えると
By=2Cy…(22)
↓これを(13)に代入すると
1=(Bx)^2+4(Cy)^2
↓(17)から
↓4-(Cx)^2=(Cy)^2を代入すると
1=(Bx)^2+4{4-(Cx)^2}
↓両辺に4(Cx)^2-(Bx)^2-1を加えると
4(Cx)^2-(Bx)^2=15
(2Cx+Bx)(2Cx-Bx)=15>0
だから
2Cx-Bx≠0…(23)

(15)から
4=(Bx-Cx)^2+(By-Cy)^2
↓これに(22)を代入すると
4=(Bx-Cx)^2+(Cy)^2
↓(17)=これから
(Cx)^2+(Cy)^2=(Bx-Cx)^2+(Cy)^2
↓両辺に-(Cy)^2-(Bx-Cx)^2を加えると
2BxCx-(Bx)^2=0
Bx(Bx-2Cx)=0
↓(23)からBx-2Cx≠0だから
Bx=0…(24)
↓これを(7)に代入すると
↑AB=(0,By,Bz)
↓交線の方向ベクトル(1,0,0)との内積は
((0,By,Bz),(1,0,0))=0
だから
∴
ABは交線に垂直である…(25)

(20)から
Bz=2Cz
↓これを(14)に代入すると
1+4(Cz)^2=a^2…(26)

(18)の両辺に-4を加えると
a^2-4=(Cz)^2
↓これを(26)に代入すると
1+4(a^2-4)=a^2
↓両辺に15-a^2を加えると
3a^2=15
↓両辺を3で割ると
a^2=5
↓両辺を(1/2)乗すると
∴
a=√5…(27)

(24)を(13)に代入すると
1=(By)^2…(25)

(21)の両辺を2乗すると
(Bz)^2=(By)^2(tanθ)^2
↓これに(25)を代入すると
(Bz)^2=(tanθ)^2
↓これと(24)と(25)を(10)に代入すると
a^2=1+(tanθ)^2
a^2=1/(cosθ)^2
↓これに(27)を代入すると
5=1/(cosθ)^2
↓両辺に(cosθ)^2/5をかけると
(cosθ)^2=1/5
↓両辺を(1/2)乗すると
∴
cosθ=1/√5

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/08 16:40

その図は

ABが水平となっているのが間違いなのです
ABが水平ならば

a=|AB|=|A'B'|=1
となってしまい

△ABC
は
1辺a=1の
正3角形
となってしまい

1=a=|BC|≧|B'C'|=2>1
1=a=|CA|≧|C'A'|=2>1

となって矛盾するのです

平面α上にある
1辺の長さaの正3角形ABC
の
平面βへの正射影は
Aの正射影をA'
Bの正射影をB'
Cの正射影をC'
とすると

|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2

となったとき

(|AA'|-|BB'|)^2+|A'B'|^2=|AB|^2
↓|A'B'|=1,|AB|=aだから
(|AA'|-|BB'|)^2+1=a^2

||AA'|-|BB'||=√(a^2-1)

(|CC'|-|BB'|)^2+|B'C'|^2=|BC|^2
↓|B'C'|=2,|BC|=aだから
(|CC'|-|BB'|)^2+4=a^2

||CC'|-|BB'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

(|AA'|-|CC'|)^2+|C'A'|^2=|CA|^2
↓|C'A'|=2,|CA|=aだから
(|AA'|-|CC'|)^2+4=a^2

||AA'|-|CC'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

|BB'|<|CC'|<|AA'|の時

|AA'|-|BB'|=√(a^2-1)
|CC'|-|BB'|=√(a^2-4)
|AA'|-|CC'|=√(a^2-4)
だから

2√(a^2-4)=√(a^2-1)
4(a^2-4)=a^2-1
4a^2-16=a^2-1
3a^2-15=0
a^2-5=0
a^2=5
∴
a=√5
∴
cosθ=1/√5

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/06 21:30

問題では

△ABC
は
1辺aの
正3角形だけれども

それの
平面βへの正射影は

|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2

となったときの
aの値とcosθを求めよといっているのです

その問題に答えていないので間違っています
正射影は必ず減少するので間違っています