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y=x上に中心のある任意半径の円が満たす微分方程式が分かりません。


円の式
x^2+y^2=c^2 (cは円の半径、中心は原点)
(x-a)^2+(y-b)^2=c^2 (a,bは中心の座標、cは円の半径)
という式からとりあえず、
xdx+ydy=0
(x-a)dx+(y-b)dy=0
となるだろうことは分かります。(もしかしてこの時点で間違ってますか?)しかし、これだと中心が原点、もしくは任意の(a,b)のときだけです


「(a,b)はy=x上の点とする」と定義してしまえばそれまでなのかもしれませんが、それだと意図が違う

のでは?、と思うのです。

「y=x」という、円の中心を取る関数をどう絡めたらいいのかがわかりません。

ヒントをお願いします。

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A 回答 (6件)

まとめです。


中心が y=x 上ということは、中心は(a,a) aは任意、とおける。
円の式は
(x - a)^2 + (y - a)^2 = r^2 ; a, r は任意 …(1)
となる。
(1)を x で微分。
2(x - a) + 2(y - a) y' = 0  両辺を2で割って
(x - a) + (y - a) y' = 0 …(2)

(2)を x で微分。
1 + (y')^2 + (y - a) y'' = 0 …(3)

ここまでが#3までの結果です。

ここから a の消去に入ります。まず a の式を求めます。
(3)より
 (y - a) y'' = - 1 - (y')^2
∴ y - a = ( - 1 - (y')^2 ) / y'' …(4)
∴ a = y + ( 1 + (y')^2 ) / y'' …(5)

ここまでは、#3 への補足質問までの結果。
この後、a の消去ですが、質問者さまの方法では結果が複雑になるようなので、ここでは、(4)と(5)を(2)に代入するのがいいのではないかと思います。

 (x - {y + ( 1 + (y')^2 ) / y''}) + {( - 1 - (y')^2 ) / y''} y' = 0
 y'' を両辺に掛けて整理します。
 (x y'' - y y'' - 1 - (y')^2 ) + ( -y' - (y')^2 y') = 0
(x - y)y'' - 1- (y')^2 - y' - (y')^3 = 0
(x - y)y'' = 1 + y' + (y')^2 + (y')^3

 私が計算すると何やら意味ありげな結構美しい式が出てきました。
 最近、計算間違いばかりなので、自信無しです。皆さまの検証をお待ちします。
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一般的にしてみました。



(1) (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(2) (x-a)+(y-b)y'=0
(3) 1+(y')^2+(y-b)y"=0

(2)×y"-(3)×y' より
(4) (x-a)y"-(1+(y')^2)y'=0
(4)' ay"=xy"-(1+(y')^2)y'
(3)' by"=yy"+(1+(y')^2)

中心が y=mx 上にある円は (3)'-(4)'×m より
   0=(y-mx)y"+(1+(y')^2)(1+my')
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・・すごい式になってしまいました・・



分母をかけても,yy' が消える程度で簡単な式にはならないですね。

直接関係はありませんが,参考URLの「曲線の曲がり具合」を読んでみてください。

参考URL:http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/i …
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y=x上に中心がある円は


(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
と定数を2つ含みます。
2つの定数を消さないといけないので,y'とy''まで必要です。
2(x-a)+2(y-a)y'=0 と
1+(y')^2+(y-a)y''=0 から
aを消去しましょう。

この回答への補足

ありがとうございます。
「aを消去する」っていうのは、ちょっと説明が悪いと思いますが、微分方程式を解いていくときに、「積分定数」が出てくるので、元の式にある定数は消去する、という感じでしょうか?

あと、実際にaを消去してみましたが・・・すごい式になってしまいました・・・

2(x-a)+2(y-a)y'=0 より
a=(x+yy')/(1+y')
1+(y')^2+(y-a)y''=0より
a={(y')^2+1}/y"+y

となり、結果

(x+yy')/(1+y')={(y')^2+1}/y"+y

なんていう複雑なのになりました。

補足日時:2006/04/26 20:48
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円の中心が(a,a)(aは定数)にあるということなので、半径をrとすると、円の方程式は


(x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2
となり、これの両辺をxで微分すると、
2(x-a) + 2(y-a)*(dy/dx) = 0
なので、
dy/dx = -(x-a)/(y-a)
ってことなのでは?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2006/04/26 20:48

円の中心がy=x上なら、中心のx座標とy座標が等しいと言うこと


なので、中心の座標を(a,a)とすればよいのでは?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2006/04/26 20:47

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