方程式についてです。

ある人が１枚700円で生地を何枚か仕入れ、2種類のシャツを作って1枚1000円と1500円で売ったところ、300円の利益があったという。どちらのシャツも少なくとも1枚売れたとすると、売れたシャツの枚数はもっとも少なくて何枚か。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　回答は4枚になるのですが、やり方が思い浮かびません。どなたか解説してもらえないでしょうか。よろしくお願いします。　

No.3 回答者： momordica 回答日時： 2010/01/27 16:14

生地1枚でシャツ1枚ができると言ってるわけじゃないですよね。

1000円のシャツと1500円のシャツの売れた数と、仕入れた生地の枚数をそれぞれ x, y, z とすると、

　1000x+1500y-700z=300　　　…(1)

となりますから、この不定方程式を満たす自然数の組(x, y, z)のうち、x+y が最小になるものを考えよ
という問題だと思います。
まあ、x+y=2, 3, 4, … となる x, y の組を順に 1000x+1500y-300 に入れてみて、700の倍数になるもの
を探すという泥臭い方法が、結局一番分かりやすく、かつ速そうな気はするのですが、それではあまり
数学的じゃないとお考えでしたら、

（1）の両辺を100で割って

　　10x+15y-7z=3

少し両辺を変形して

　　5(2x+3y)-7z=10-7

　　5(2x+3y-2)=7(z-1)

この式は両辺ともに整数であり、また5と7は互いに素ですから、2x+3y-2, z-1 はそれぞれ7と5の倍数
になります。よって

　　(2x+3y-2)/7=(z-1)/5=k　（kは整数）

と置けます。このとき、

　　2x+3y=7k+2　
　　z=5k+1
　　（k=1,2,3,…）

となりますが、x+y が最小となるとき、2x+3y も最小になると推測して、2x+3yが最小になる場合を考えると、
それは　k=1　のときです。よって、そのとき、

　　2x+3y=9

これを満たす自然数 x, y の組は、

　　x=3, y=1

しかないので、売れた枚数の合計は

　　x+y=4

となり、これは条件を満たしています。

No.2 回答者： mekari_y 回答日時： 2010/01/27 11:36

利益が300円なのは少なすぎませんか？

1000円のシャツが一枚売れた時点で、300円の利益がでますので、少なくとも1枚ずつ売るのは無理です。
3000円の間違いではないでしょうか。
一応、3000円と仮定して、以下のようになります。

1000円で売った枚数：x枚
1500円で売った枚数：y枚

仕入
700(x+y)
売上
1000x+1500y
利益
3000

以上から
(1000x+1500y)-700(x+y)=3000
300x+800y=3000
3x+8y=30
3x=30-8y
x=10-(8/3)y

ここで、x,yはともに正の整数であることを踏まえると、yは3の倍数でないといけないことになります。

y=3のとき
x=10-8
=2

y=6のとき
x=10-16
=-6
不適。さらに、これ以降もxが負の整数となるのでここで終了。

よって、(x,y)=(2,3)となります。
仕入れの合計枚数は、5枚です。

回答が違いますね。
利益の額を3000円と仮定した場合の計算です。
やり方のみ参考にしてください。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/27 11:13

＞300円の利益があったという

　売価と仕入れ値の差額が利益だとすると、３００円の利益は少なすぎませんか？
　これだと、　１枚＋１枚＝２枚　ということになりますよ。

　もし、３０００円の利益　の誤記だとしたら、次のようになります。

　　３０００÷（１５００－７００）＝３．７５

　（答え）　もっとも少ない枚数は　４枚