円の式を微分方程式で表すと・・・

y=x上に中心のある任意半径の円が満たす微分方程式が分かりません。


円の式
x^2+y^2=c^2　（cは円の半径、中心は原点）
(x-a)^2+(y-b)^2=c^2　(a,bは中心の座標、cは円の半径)
という式からとりあえず、
xdx+ydy=0
(x-a)dx+(y-b)dy=0
となるだろうことは分かります。（もしかしてこの時点で間違ってますか？）しかし、これだと中心が原点、もしくは任意の(a,b)のときだけです

。
「(a,b)はy=x上の点とする」と定義してしまえばそれまでなのかもしれませんが、それだと意図が違う

のでは？、と思うのです。

「y=x」という、円の中心を取る関数をどう絡めたらいいのかがわかりません。

ヒントをお願いします。

No.6 回答者： take008 回答日時： 2006/04/28 11:59

一般的にしてみました。

(1) (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(2) (x-a)+(y-b)y'=0
(3) 1+(y')^2+(y-b)y"=0

(2)×y"-(3)×y' より
(4) (x-a)y"-(1+(y')^2)y'=0
(4)' ay"=xy"-(1+(y')^2)y'
(3)' by"=yy"+(1+(y')^2)

中心が y=mx 上にある円は (3)'-(4)'×m より
　　 0=(y-mx)y"+(1+(y')^2)(1+my')

No.5 ベストアンサー 回答者： nekochari 回答日時： 2006/04/28 01:19

まとめです。

中心が y=x 上ということは、中心は(a,a) aは任意、とおける。
円の式は
(x - a)^2 + (y - a)^2 = r^2 ; a, r は任意　…（１）
となる。
（１）を x で微分。
2(x - a) + 2(y - a) y' = 0 　両辺を２で割って
(x - a) + (y - a) y' = 0 …（２）

（２）を x で微分。
1 + (y')^2 + (y - a) y'' = 0 …（３）

ここまでが#3までの結果です。

ここから a の消去に入ります。まず a の式を求めます。
（３）より
　(y - a) y'' = - 1 - (y')^2
∴ y - a = ( - 1 - (y')^2 ) / y'' …（４）
∴ a = y + ( 1 + (y')^2 ) / y'' …（５）

ここまでは、#3 への補足質問までの結果。
この後、a の消去ですが、質問者さまの方法では結果が複雑になるようなので、ここでは、（４）と（５）を（２）に代入するのがいいのではないかと思います。

　(x - {y + ( 1 + (y')^2 ) / y''}) + {( - 1 - (y')^2 ) / y''} y' = 0
　y'' を両辺に掛けて整理します。
　(x y'' - y y'' - 1 - (y')^2 ) + ( -y' - (y')^2 y') = 0
(x - y)y'' - 1- (y')^2 - y' - (y')^3 = 0
(x - y)y'' = 1 + y' + (y')^2 + (y')^3

　私が計算すると何やら意味ありげな結構美しい式が出てきました。
　最近、計算間違いばかりなので、自信無しです。皆さまの検証をお待ちします。

No.4 回答者： take008 回答日時： 2006/04/27 11:02

・・すごい式になってしまいました・・

分母をかけても，yy' が消える程度で簡単な式にはならないですね。

直接関係はありませんが，参考ＵＲＬの「曲線の曲がり具合」を読んでみてください。

参考URL：http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/i …

No.3 回答者： take008 回答日時： 2006/04/26 17:39

ｙ＝ｘ上に中心がある円は

(ｘ－ａ)^2＋（ｙ－ａ)^2＝ｒ^2
と定数を２つ含みます。
２つの定数を消さないといけないので，ｙ'とｙ''まで必要です。
２(ｘ－ａ)＋２(ｙ－ａ)ｙ'＝０ と
１＋(ｙ')^2＋(ｙ－ａ)ｙ''＝０ から
ａを消去しましょう。

この回答への補足

ありがとうございます。
「aを消去する」っていうのは、ちょっと説明が悪いと思いますが、微分方程式を解いていくときに、「積分定数」が出てくるので、元の式にある定数は消去する、という感じでしょうか？

あと、実際にaを消去してみましたが・・・すごい式になってしまいました・・・

２(ｘ－ａ)＋２(ｙ－ａ)ｙ'＝０ より
a=(x+yy')/(1+y')
１＋(ｙ')^2＋(ｙ－ａ)ｙ''＝０より
a={(y')^2+1}/y"+y

となり、結果

(x+yy')/(1+y')={(y')^2+1}/y"+y

なんていう複雑なのになりました。

補足日時：2006/04/26 20:48

No.2 回答者： springside 回答日時： 2006/04/26 17:31

円の中心が(a,a)（aは定数）にあるということなので、半径をrとすると、円の方程式は

(x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2
となり、これの両辺をxで微分すると、
2(x-a) + 2(y-a)*(dy/dx) = 0
なので、
dy/dx = -(x-a)/(y-a)
ってことなのでは？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2006/04/26 20:48

No.1 回答者： debut 回答日時： 2006/04/26 16:43

円の中心がｙ＝ｘ上なら、中心のｘ座標とｙ座標が等しいと言うこと

なので、中心の座標を（ａ，ａ）とすればよいのでは？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2006/04/26 20:47