a1＝1 an＋1＝5an＋4^n のbnとanの一般項を教えてください！

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質問者：ひろっつ
質問日時：2020/12/15 22:08
回答数：3件

a1＝1 an＋1＝5an＋4^n

のbnとanの一般項を教えてください！

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回答 (3件)

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No.2ベストアンサー

回答者： varietyknowledge
回答日時：2020/12/15 23:32

特性方程式を使う。

a[n+1]=5a[n]+4^n

両辺を4^(n+1)で割ると、
a[n+1]/4^(n+1)=(5/4)(a[n]/4^n) + 1/4

a[n+1]/4^(n+1)=(5/4)(a[n]/4^n) + 1/4 の特性方程式を

a=(5/4)a + 1/4

とすると、
-a/4=1/4
a=-1

a[n+1]/4^(n+1) - (-1)=(5/4)(a[n]/4^n) + 1/4 - (-1)
a[n+1]/4^(n+1) + 1=(5/4)(a[n]/4^n) + 1/4 + 1
a[n+1]/4^(n+1) + 1=(5/4)(a[n]/4^n) + 5/4
a[n+1]/4^(n+1) + 1=(5/4)(a[n]/4^n + 1)

a[n]/4^n + 1=(a[1]/4^1 + 1)(5/4)^(n-1)
=(1/4 + 1)(5/4)^(n-1)
=(5/4)(5/4)^(n-1)
=(5/4)^n

a[n]/4^n=(5/4)^n - 1
a[n]=5^n - 4^n

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No.3

回答者： Tacosan
回答日時：2020/12/15 23:38

bn ってなに?

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No.1

回答者：ゼロプライム
回答日時：2020/12/15 22:37

an＋1＝5an＋4^n

an＋1/4^(n+1)＝5an/4^(n+1)＋4^n/4^(n+1)
an＋1/4^(n+1)＝(5/4)an/4^n＋1/4

bn=an/4^n とおくと、b₁=a₁/4=1/4
bn+1=(5/4)bn+1/4
k=(5/4)k+1/4 とおくと、
k=－1
bn+1 + 1=(5/4)(bn + 1)

cn=bn +1 とおくと、c₁=1/4 + 1=5/4
cn+1=(5/4)cn
cn=(5/4)^n

bn + 1=(5/4)^n
bn=(5/4)^n －1

an/4^n=(5/4)^n －1
an=5^n－4^n