x^2+y^2<=2xを変数変換したい

x^3へのx,yでの重積分で、
積分範囲がx^2+y^2<=2x, y>=0でした。
そこでx=rcosθ,y=rsinθとおき変数変換をしようとしたのですが、
どのように行えばよいか分かりませんでした。

ご教授よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  x^2 + y^2 - 2x + 1 - 1 = 0
  整理して
  x^2-2x+1 + y^2 = 1
  よって
  (x-1)^2 + y^2 = 1^2
  となり、中心は(x,y)=(1,0)で半径は1の円だとわかりました。
  いつもx=rcosθ,y=rsinθで変数変換しているものと似た形になったのですが、
  この式でx-1=rcosθ,y=rsinθと変数変換ば良いという認識で良いでしょうか？
  
  度々の質問になってしまいますが、ご教授よろしくお願いいたします。

    補足日時：2020/06/12 10:28

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/06/12 10:12

x=rcosθ,y=rsinθの置き換えは(0,0)を中心とした円が境界である場合ならr,θの範囲が簡単に得られますが、今回の場合はそうではない。

境界であるx^2+y^2=2xがどのような円であるかを調べる必要があります。
中心と半径を求めましょう。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/06/12 10:40

こうすればいい。

x²+y²≦2x　⇔　(x-1)²+y²≦1なので、x=1+cosθ、y=sinθとおけば、
長方形領域（つまりr×θ）=[0,1]×[0,π]上の積分になる。(y≧0だから)
ヤコビアンJは、|r|=1


他のやり方として、極形式のような絵（※）を考えて、x=rcosθ、y=rsinθ
とおいて、r×θ=[0,2cosθ]×[0,π/2]上の積分と考える。(y≧0だから)
この場合もヤコビアンJは|r|

※：下の図で、a=2で、動径rとx軸の正の方向とのなす角がθ