この関数は極値を持ちますか？

この関数は極値を持ちますか？
f(x.y)=x^3+3xy^2-3x^2-3y^2

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/06/20 19:42

極大・極小を１個づつ持ちます。

fx=3x²+3y²-6x
fy=6xy-6y=6y(x-1)

fy=0から、y=0 or x=1　
y=0をfx=0に入れると、fx=3x²-6x=3x(x-2)=0 → x=0 or x=2
x=1をfx=0に入れると、fx=3y²-3=0 → y=±1
となる。まとめると

① x=y=0
② x=2, y=0
➂ x=1, y=±1
が停留点。

fxx=6x-6, fyy=6x-6, fxy=6y
D=fxxfyy-fxy²=36{(x-1)²-y²}

①のとき
fxx(0,0)=-6<0 , D(0,0)=36>0 なので、極大値 f(0,0)=0

②のとき
fxx(2,0)=6>0, D(2,0)=36>0 なので、極小値 f(2,0)=8-12=-4

➂のとき
fxx(1,±1)=0 , D(1,±1)=-36 なので、これらからは判定できない。
そこで、(1,±1)の点における、y=±xの直線上でのfの変化は
f(x,±x)=x³-3x³-3x²-3x²=-2x³-6x²
(d/dx)f(x,±x)=-6x²-12x=-6x(x+2)
つまり、(d/dx)f(1,±1)<0 となり、fは凸。

つぎに、y=±(x-2)の直線上でのfの変化は
f(x,±(x-2))=-2x³+6x²-12
(d/dx)f(x,±(x-2))=-6x²+12x=-6x(x-2)
つまり、(d/dx)f(1,±1)>0 となり、fは凹。

したがって、(1,±1)の点は鞍点となる。

この回答へのお礼

訂正の回答も含め丁寧に教えてくださりありがとうございます！とても助かりました！！

お礼日時：2020/06/20 21:22

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/06/20 20:15

#1の訂正

➂のとき
f(x,±x)=x³+3x³-3x²-3x²=4x³-6x²
(d/dx)f(x,±x)=12x²-12x=12x(x-1)
つまり、(d/dx)f(1,±1) はx=1の両側で、負から正になるので、fは凹。

つぎに、y=±(x-2)の直線上でのfの変化は
f(x,±(x-2))=4x³-18x²+24x-12
(d/dx)f(x,±(x-2))=12x²-36x+24=12x(x-1)(x-2)
つまり、(d/dx)f(1,±1) は x=1 の両側で、正から負となり、fは凸。

したがって、(1,±1)の点は鞍点となる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/20 19:52

パターンどおりの作業です。

その f(x,y) は、多項式なので、全平面上で微分可能です。
よって、極値を取る点の候補は、臨界点すなわち
0 = ∂f(x,y)/∂x = 3x^2 + 3y^2- 6x = 3(x^2 - 2x + y^2).　←[1]
0 = ∂f(x,y)/∂y = 6xy - 6y = 6(x - 1)y.　　　　　　　　　←[2]
である点に限られます。
[2] より x = 1 または y = 0 なので、これを [1] へ代入すると、
(x,y) = (1,1), (1,-1), (0,0), (2,0) だけが候補だと判ります。

(x,y) = (1,1) のとき、(x,y) = (1,1) + (u,v) と置くと
f(x,y) = (1+u)^3 + 3(1+u)(1+v)^2 - 3(1+u)^2 - 3(1+v)^2
= -2 + 6uv + (u^3 + 3uv^2).
二次項 6uv が双極型なので、(x,y) = (1,1) は鞍点です。

(x,y) = (1,-1) のとき、(x,y) = (1,-1) + (u,v) と置くと
f(x,y) = (1+u)^3 + 3(1+u)(-1+v)^2 - 3(1+u)^2 - 3(-1+v)^2
= -2 - 6uv + (u^3 + 3uv^2).
二次項 -6uv が双極型なので、(x,y) = (1,-1) も鞍点です。

(x,y) = (0,0) のとき、(x,y) = (0,0) + (u,v) と置くと
f(x,y) = 0 - 3u^2 - 3v^2) + (u^3 + 3uv^2).
二次項 - 3u^2 - 3v^2 が楕円型で上凸なので、
(x,y) = (0,0) は極大点です。

(x,y) = (2,0) のとき、(x,y) = (2,0) + (u,v) と置くと
f(x,y) = (2+u)^3 + 3(2+u)v^2 - 3(2+u)^2 - 3v^2
= - 4 + 3u^3 + 3v^2 + (u^3 + 3uv^2).
二次項 3u^2 + 3v^2 が楕円型で下凸なので、
(x,y) = (2,0) は極小点です。

以上より、
極大値は (x,y) = (0,0) のとき f(x,y) = 0,
極小値は (x,y) = (2,0) のとき f(x,y) = -4.
これが全てです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！分かりやすくてとても助かります！！

お礼日時：2020/06/20 21:25