外積とくぎ抜きと輪ゴム

外積というのが良くわからないのですが、力の場合を考えてみた。
例えば板に一本釘を軽く打ち付けておき、平面で　例えば　釘にひっかけて右側（X方向）に向かって輪ゴムで引っ張りかつ釘にひっかけて板の上側（Y方向）に輪ゴムで引っ張る時　なんかそれらのどっちの方向にも垂直な空側の方に向かって力が働き　釘が抜けやすくなるような感じがするのだが　それはそれでいいのでしょうか　こういうケースって外積と関係があるのでしょうか？

またそうだとするならば　例えば内積はA・B＝B・Aではあるが外積はそうはならず　（A×B→B×Aとはならない　等しくない）ただ方向が逆転するとか書いてあったが　そうならばAが先に引っ張るかBを先に引っ張るかで逆に釘が抜けにくくなるような場合もあるような気もするが・・・（このゴムの場合　A×BまたはB×Aはどのような例えになるんでしょうか）小生のどこの理解がおかしいか　ご教授ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/23 11:47

「内積」ならよく分かるのですか？　素晴らしい！

お書きの説明は全く的外れなので、お忘れになった方がよいと思います。
「ベクトルの外積」も、「内積」と同じで、そういう演算を仮定すると分かりやすい事例があるので、そういう定義で考えることにしよう、と勝手に人間が決めたことだと思っています。
「対数」とか「指数」とか「三角関数」などと同じように。

「ベクトルの外積」は、「回転運動」を考えると分かりやすいのかなと思います。（おそらく、そのためにこの演算を考えた）
「力のモーメント」とか「トルク」というのは、「加えた力」と「支点からの距離」のかけ算で大きさが決まります。「てこの原理」で、同じ力でも「半径」が２倍になると「トルク」（回転力）は２倍になります。この「トルク」とか「角速度」とか「角加速度」みたいなものを考えるときに「外積」が役に立ちます。
同じ半径のところに「逆向き」の力を加えれば「逆回転のトルク」になるし、ちょうど180° 反対側の同じ半径の位置に同じ方向の力を加えても「逆回転のトルク」になります。ということは、「トルク」自体も「ベクトル」として扱うと便利です。

↓　「トルク」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB …

ということで、「支点」を起点にした「半径」のベクトルと、その半径の先に加えた「力」のベクトルをかけ合わせたものを「トルク」のベクトルと考えると、「トルク」というものをうまく取り扱えます。
「半径ベクトル」の向きが逆だったり、「力ベクトル」の向きが逆なら、逆向きの「トルク・ベクトル」になります。
「力ベクトル」の「半径ベクトルと直角方向の成分」だけが「トルク」ベクトルに寄与します。

この「半径ベクトル」と「力のベクトル」から「トルクのベクトル」を計算するものが「外積」だと考えると、まあまあ理解ができると思います。

問題なのは「じゃあ、トルクのベクトルの向きってなんだ？」ということですが、これは「右ねじの法則」で「回転軸の方向」ということで定義します。逆向きのトルクは、回転軸の逆方向を向きます。
「回転軸の方向に、何が実体のある『トルク』という目に見えるものがあるか？」「左ネジの法則でトルクの向きを決めて何でいけないのか？」というと、うまくは説明できないのですが、「コマがなぜ倒れないか」「自転車がなぜ倒れずに走れるのか」「羅針盤のジャイロ」などを考えたときに、そういう「回転軸の向きのトルク・ベクトル（正確には「角運動量ベクトル」＝トルクに基づく「角加速度」から導き出される「角速度」が作るもの）」を考えると、何となく「妥当性」がありそうに思えませんか？

ということで、「ベクトルの外積」は「トルク」「回転運動」を使って理解するのがよいと思っています。

↓　ご参考
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/catego …

No.1 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/06/22 20:57

釘だの輪ゴムだの正直何を言ってるのか全然分からないので全部忘れて下さい。

矢線ベクトルAとBの外積とは(記憶に間違いなければ)AとBを「矢の根元」で合わせた時に、AとBによって張られる平行四辺形の面積をその大きさとし、Aを回してBに重ね合わせる時に右ねじが進む向きをその方向とするベクトルの事です。


図を描いて説明すればもう少し分かりやすいでしょうが、言葉だけで外積の定義を説明するとこんな感じだったと思います。