No.3
- 回答日時:
∫(0-∞)sinx/xdx
を計算するために
∫(0-∞)sinx/xdx
=∫(0-∞)dx∫(0-∞)dα exp(-αx)sinx
を考えます。 するとこの積分はαについて一様収束だから積分の順序が交換できて
∫(0-∞)dx exp(-αx)sinx = 1/(1+α^2)
∫(0-∞)dα 1/(1+α^2) = arctan α|(0-∞)=π/2
より
∫(0-∞)sinx/xdx
=∫(0-∞)dx∫(0-∞)dα exp(-αx)sinx
を考えます。 するとこの積分はαについて一様収束だから積分の順序が交換できて
∫(0-∞)dx sinx = π/2
となります。この他、複素積分を使う方法もあります。
∫e^x/xdx
∫sinx/xdx
の不定積分は積分正弦関数と呼ばれ、初等関数では表されないことが知られています。ただしsin x をマクローリン展開してから項別積分することによりxが小さいときの展開式、部分積分によりxが大きいときの漸近展開を求めることはできます。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
どうもすみません。
計算間違ってましたね。2/qのところは2/pです。
そして、p→+∞とすれば0になります。
このとき、コーシーの収束条件というのは
lim[p→a,q→a]|f(p)-f(q)|=0がなりたてばlim[x→a]f(x)が存在する。
というものなので、
この場合も成り立って広義積分が存在することがわかります
再度回答ありがとうございます。
コーシーの収束条件について理解できてなかったみたいです。
ささいな計算ミスを指摘したことをお許しください。
たいへんわかりやすい説明でした。
No.1
- 回答日時:
0<p<qとすれば
∫_p^q{sinx/x}dx=-[cosx/x]_p^q-∫_p^q{cosx/x^2}dx
=-cosq/q+cosp/p-∫_p^q{cosx/x^2}dx
このとき|cosx|≦1より
|∫_p^q{sinx/x}dx|≦1/p+1/q+|∫_p^q{cosx/x^2}dx|≦1/p+1/q+∫_p^q{1/x^2}dx
=1/p+1/q+[-1/x}]_p^q=1/p+1/q+1/p-1/q=2/q
となる。このことから
lim_{p,q→+∞}|∫_p^q{sinx/x}dx|=lim_{q→+∞}2/q=0
がなりたつ。
これよりコーシーの収束条件を満たしているので
lim_{a→+∞}∫_0^a{sinx/x}dxが収束して
与えられた広義積分は収束することがわかります。
回答ありがとうございます。
1/p+1/q+1/p-1/q=2/qは
1/p+1/q+1/p-1/q=2/p
になって発散してしまうんではないでしょうか?
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