大学数学の問題です。

大学数学の問題です。
線形写像tr:M_2,2→Rに対し、W=Ker(tr) ⊂M_2,2とおく。
(1)WはM_2,2の部分空間であることを示し、基を1組求めよ。
(2)F(X)=AX-XAと定める。A=(1 3/2 5)の2×2行列。FはM_2,2からWへの線形写像であることを示せ。
(3)KerF,ImFの基と次元を求めよ。

この問題がわかりません。
よろしくお願いいたします

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/06 00:19

2行２列なので、行列を成分で

A =
　　a　　b
　　c　　d
と置いてしまいましょう。
tr A = 0 は成分表示で a + d = 0 です。

(1)
A =
　　a　　b
　　c　　d,
B =
　　a’　　b’
　　c’　　d’,
a + d = a’ + d’ = 0 とすると tr(A+B) = (a+a’)+(d+d’) = (a+d) + (a’+d’) = 0,
スカラー s に対して tr(sA) = sa + sd = s(a+d) = 0.
A, B∈W ならば A+B∈W, sA∈Wなので、 W は M_2,2 の部分線型空間です。

基底としては、
D =
　　1　　0
　　0　　-1,
U =
　　0　　1
　　0　　0,
L =
　　0　　0
　　1　　0.
と置いて { D, U, L } なんかが挙げられますね。

(2)
M_2,2 の任意のふたつの行列 X, Y とスカラー s に対して、
F(X+Y) = A(X+Y) - (X+Y)A = AX + AY - XA - YA = (AX - XA) + (AY - YA) = F(X) + F(Y),
F(sX) = A(sX) - (sX)A = s(AX - XA) = sF(X).
が成り立ちます。 よって、F は M_2,2 上の線型写像です。

X =
　　a　　b
　　c　　d
と置いて成分計算すると
F(X) = AX - XA =
　　-2b+3c　　　 -3a-4b+3d
　　2a+4c-2d　　2b-3c.
であり、tr F(X) = 0.
確かに、任意の X について F(X)∈W となっています。

(3)
(2)後半の成分計算より F(X) = (-2b+3c)D + (-3a-4b+3d)U + (2a+4c-2d)L
= -(2b-3c)D + { -3(a+2c-d) - 2(2b-3c) }U + 2(a+2c-d)L
= -(2b-3c)(D+2U-2L) - 3(a+2c-d)U.
と書けます。 ただし、D, L, U は(1)のものです。
Im F の基底として、{ D+2U-2L, U } が挙げられます。

同じ成分計算により、F(X) = O ⇔
-2b+3c = -3a-4b+3d = 2a+4c-2d = 0 なので、
連立一次方程式を解いて、c = (2/3)b, d = a + (4/3)b.
X∈Ker F のとき X = aE + (b/3)F, ただし
E =
　　1　　0
　　0　　1,
F =
　　0　　3
　　2　　4.
と書けます。
Ker F の基底として、この { E, F } が挙げられます。