divとgrad

流体で計算がでてきた関連で色々調べたのですが、
どうもわからないので教えてください。

まず、gradとナブラについて混乱しています。
∇ = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) = grad
でいいのですか？

divV = (∂V/∂x)i + (∂V/∂y)j + (∂V/∂z)k
でいいのでしょうか？(ijkはxyz方向の単位ベクトル)

divとgradの違いがよくわかりません。??

div grad V と grad div Vの計算は、
どのようにすればよいですか？

私の勉強不足、いたらないところもあるかと思いますが、
助けてやってくださいm(__)M。

No.9 回答者： siegmund 回答日時： 2005/01/26 00:36

siegmund です．

masudaya さん，批評がましくて失礼しました．
> 間違いの指摘ありがとうございます.
と言っていただけると，私もうれしいです．

う～ん，質問者さんからレスポンスがありませんね～．

私の教えた経験では
(1) テキストなどに現れる量がスカラーなのかベクトルなのか，
　　いつも注意する．
(2) 自分のノートなどで，ベクトル量は太字や矢印などで明確に区別する．
　　太字は面倒，などと手抜きをしない．
(3) grad，div などの演算の定義の確認
これだけ確実にやれば，この種の混乱はほとんど解決と思います．

No.8 回答者： masudaya 回答日時： 2005/01/25 13:06

siegdmundさん,

間違いの指摘ありがとうございます.

計算しなおしてみました.
あらわに成分を書くと

grad div V
=(∂^2Vx/(∂x)^2＋∂^2Vy/∂x∂y＋∂^2Vz/∂x∂z)ex
+(∂^2Vx/∂y∂x＋∂^2Vy/(∂y)^2＋∂^2Vz/∂y∂z)ey
+(∂^2Vx/∂z∂x＋∂^2Vy/∂z∂y＋∂^2Vz/(∂z)^2)ez

でした.十数年ぶりなので,早とちりをしたようです.

ご迷惑をおかけしました.

No.7 回答者： siegmund 回答日時： 2005/01/20 22:14

siegdmund です．

hagiwara_m さん，お久しぶりです．
hagiwara_m さんも私と同業のようですが，
学生さんがスカラーとベクトルの区別をきちんとしてくれないことに
お悩みであることが，行間から読みとれるような気がします．
私も同じ悩みを持っているもので...

masudaya さん：
> (2)grad divV
> (2)=∂^2 Vx/(∂x)^2ex+∂^2 Vy/(∂y)^2ey+
> ∂^2 Vz/(∂z)^2ez

とはなりません．
私流の記号で書きますと
div (→A) = (∂A_x/∂x) + (∂A_y/∂y) + (∂A_z/∂z)
で，右辺は３項の和になっています．
この３項の和が grad f の f に相当するわけですから，
grad div (→A) の (→i)，(→j)，(→k) 成分とも
３つの項の和になっています．
masudaya さんが書かれたのはその一部で，
△(→A) に相当する部分です(△はラプラシアン)．
IAC さんが No.2 で触れておられますように，
残りの部分がちょうど rot rot (→A) になっています．

No.6 回答者： hagiwara_m 回答日時： 2005/01/20 12:55

No.2のsiegmundさんも指摘されていますが、ご質問の表現から察するところでは、空間におけるスカラー関数（スカラー場）とベクトル関数（ベクトル場）のイメージの区別に先ず悩まれているような気もしますので、付け足しを書きます（余計なことでしたらごめんなさい）。

空間の各点(x,y,z)において、スカラー値 U が決まるのがスカラー場です。U(x,y,z)と書けますね。

空間の各点(x,y,z)において、ベクトル量 (Ax,Ay,Az)が決まるのが、ベクトル場です。(Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z))のように書かれます。siegmundさんのベクトル記号を使えば、→A(x,y,z)（あるいは、→A(→r)）ですね。

スカラー場 U(x,y,z)で、各点でのUの値の空間的な勾配（方向も含むベクトル量）を与えるのが、 grad U です。

ベクトル場 →A(x,y,z)において、各点でAの成分に対応する量が微小体積あたりどのくらいの割合で湧き出しているかを示す量（スカラー値）が、div(→A) です。

No.5 回答者： masudaya 回答日時： 2005/01/20 10:59

ナブラは,ベクトル記号です.

∇ = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z )

gradは,

grad φ=∇φ
=(∂φ/∂x)ex+(∂φ/∂y)ey+(∂φ/∂z)ez

で,ベクトル関数になります.(ex,ey,ezはx,y,z方向の単位ベクトルを表します)
このときφはスカラー(ひとつの数値を返す)関数になります.
イメージとしては,丘のような地形のあるところに立ったときの,傾き具合で,呼び名も勾配といいます.

divは

divV=∇・V
=∂Vx/∂x＋∂Vy/∂y＋∂Vz/∂z

でスカラーになります.
このときVはベクトル関数になります.
イメージとしては,xyzでの小さな直方体で考えるとx軸方向(yz面)の∂Vx/∂xは
∂Vx/∂x=(Vx(x+dx)－Vx(x))/dx
ですので,x軸方向へ出て行くV(x+dx)からx軸方向に入っていくV(x)を引き算しているので,考えている直方体で,湧き出した分ということになります.呼び名も発散です.

ついでにrotも(curlとも書く・・・curlだったかな？？)

rotV=∇×V
=(∂Vz/∂yー∂Vy/∂z)ex+(∂Vx/∂zー∂Vz/∂x)ey+(∂Vy/∂xー∂Vx/∂y)ez

となり,ベクトルになります.このときVもベクトル関数になります.

イメージとしては"物理数学の直感的方法"に出ていますが,小さな水車を考えます.いま水車の軸をx軸に一致させます.水車が回るのは,軸がx軸上なので,z軸方向の流れがy軸方向で異なるとき,y軸方向の流れがz軸方向で異なるときとなります.rotVのx成分は
(rotV)x=(∂Vz/∂yー∂Vy/∂z)
=(Vz(y+dy)-Vz(y)/dｙ－(Vy(z+dz)-Vy(z))/dz
となり,まさにこの成分は今の水車の回転を表しています.呼び名も回転です.

さて,質問に戻って,(1)div gradVと(2)grad divVの違いですが,
1.(1)ではVはスカラーで,(2)ではVはベクトルである必要があります.(入力される関数が違う)
2.結果も(1)はスカラーで(2)はベクトルです.

(1)=∂^2 V/(∂x)^2+∂^2 V/(∂y)^2+∂^2 V/(∂z)^2
=△V (△:ラプラシアン)

(2)=∂^2 Vx/(∂x)^2ex+∂^2 Vy/(∂y)^2ey+
∂^2 Vz/(∂z)^2ez

となると思います.

No.4 回答者： physicsache 回答日時： 2005/01/19 23:11

div=∇・（あるベクトルとの内積）

grad=∇（あるスカラーとのかけ算）
rot=∇×（あるベクトルとの外積）

No.3 回答者： IAC 回答日時： 2005/01/19 18:47

grad は gradient（勾配），div は divergence（発散）の略です。

grad はスカラー場（例えば，密度，濃度，温度，ポテンシャルエネルギなどの空間分布）の勾配ベクトルを表し，等位面に垂直で勾配の大きさに比例するベクトルを計算する演算子です。
また，div はベクトル場（例えば，速度，流速，電場などの空間分布）中で，ある微小空間を考えたときに，そこから出て行く（発散する）ベクトル場の大きさ（正確にはフラックスの大きさ）を表す演算子です。ガウスの発散定理などを参照してみて下さい。

> ∇ = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) = gradでいいのですか？

デカルト座標系の演算子として捉えるなら，これで結構です。

> divV = (∂V/∂x)i + (∂V/∂y)j + (∂V/∂z)kでいいのでしょうか？

上記では，右辺がベクトルとなってしまいます。　ベクトル場に対して div はスカラー量を与えますので，
　divV = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z　（但し， V = (Vx, Vy, Vz)

> div grad V と grad div Vの計算は、どのようにすればよいですか？

div grad はラプラシアン（∇^2 あるいはΔ）と呼ばれ，拡散量を計算する演算子に対応します。スカラー場 F = F(x,y,z)に対し，
　　div grad F = ∂^2 F/∂x^2 + ∂^2 F/∂y^2 + ∂^2 F/∂z^2
となります。 Navier-Stokes方程式では粘性項（一般には拡散項）に現われます。

grad div は div grad に rot rot （rotはrotational）を加えたものですが，
　　grad div = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) ( ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z )
により求まります。

速度場の発散がゼロのソレノイダル条件が成立する場では，grad divがゼロとなりますので，渦度ω（ = rot v）と速度との間に，
　　∇^2 v = - rot ω
のような美しい関係が現われます。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2005/01/19 17:59

まず，スカラー量とベクトル量の区別を明確にしてください．

ベクトル量は (→F) のように書くことにします．

grad はスカラー量に作用してベクトル量を生み出す微分演算です．
f が空間座標 (x,y,z) のスカラー関数 f(x,y,z) になっているとします．
(1)　　grad f = (∂f/x,∂f/∂y,∂f/∂z)
　　　　　　　= (∂f/∂x)(→i) + (∂f/∂y)(→j) + (∂f/∂z)(→k)
が grad の約束です．
(2)　　∇ = (∂/x,∂/∂y,∂/∂z)
　　　　　= (∂/∂x)(→i) + (∂/∂y)(→j) + (∂/∂z)(→k)
というナブラを定義するなら
(3)　　grad f = ∇f
と書くこともできます．
ただし，
(4)　　grad = ∇
ということではありません．

これに対して， div はベクトル量に作用してスカラーを生み出す微分演算です．
(→A) が空間座標 (x,y,z) のベクトル関数 (→A)(x,y,z) になっているとします
成分で書いて
(5)　　(→A) = (A_x,A_y,A_z) = A_x (→i) + A_y (→j) + A_z (→k)
です．A_x は (→A) の x 成分(_x は下付の x のつもり)．
もちろん，A_x など自体が (x,y,z) の関数です．
このとき
(5)　　div (→A) = (∂A_x/∂x) + (∂A_y/∂y) + (∂A_z/∂z)
が div の約束です．
右辺がスカラー量であることはおわかりですね．
(2)を使うとやや形式的ですが
(6)　　div (→A) = ∇・(→A)
と書くこともできます(内積の【・】に注意)．
内積の定義どおりに ∇・(→A) を書き下ろすと(5)になることを確認して下さい．

V をスカラーとするなら
(7)　　grad V = (∂V/∂x,∂V/∂y,∂V/∂z)
　　　　　　　= (∂V/∂x)(→i) + (∂V/∂y)(→j) + (∂V/∂z)(→k)
ですね．
で，div grad V を計算するなら，上の (→A) が grad V にあたっているわけで，
対応関係は
(8)　　A_x <==> (∂V/∂x),　　A_y <==> (∂V/∂y),　　A_z <==> (∂V/∂z)
になっています．
したがって
(9)　　div grad V = (∂^2 V/∂x^2) + (∂^2 V/∂y^2) + (∂^2 V/∂z^2)
です．
これはいわゆるラプラシアンに他なりません．

上の内容からおわかりと思いますが，スカラー量 V に対して
(10)　　grad div V
ということはありえません．

(6)で∇とベクトル量の内積が出てきましたが，外積はないのか？，という疑問が生ずるかと思います．
実は
(11)　　rot (→A) = ∇×(→A)
です．

No.1 回答者： kcirtikkih 回答日時： 2005/01/19 16:57

divV = (∂V/∂x) + (∂V/∂y) + (∂V/∂z)のはずです。

div grad Vは普通にgradを計算してからdivを計算すればよいのでは。