フーリエ変換 グリーン関数 湯川ポテンシャル 導出 について

静的なクラインゴルドン方程式をフーリエ変換によって解くことで湯川ポテンシャルを導出する過程において、（kは波数(の絶対値)、rは位置ベクトル(の絶対値)r,kのベクトル表記を苦肉の策で|r、|kと表記します）ポテンシャルG(|r)=(1/2π)^3∫[0,∞]dkxdkydkz exp(|k・|r)/(k^2+m^2)を極座標に変換して積分を解く部分があります。極座標への変換によってkx=kcosΦsinθ,ky=ksinΦsinθ,kz=kcosθとなるのはよいのですが、|k･|r=krcosθとなる理屈がわかりません。ベクトルの内積が絶対値の積となす角の余弦の積となることがわからないのではなく、kzと|kがなす角であるθと|kと|rのなす角が一致するのが不思議です。
|rとkzは平行なのでしょうか。それとも球対称だからそう置いただけの話なのでしょうか。

ちなみに湯川ポテンシャルの導出は物理のかぎしっぽ様の以下のページで説明されているのと同じ文字、同じ流れで行いました。
http://hooktail.sub.jp/fourieralysis/yukawaFouri …

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/02/01 11:45

rはk(積分変数)によらない定ベクトルなので、やってるのは「rとkのなす角をθとおいた」だけ。

rの方向がz軸になるように座標軸を回転させてから極座標にしたと思えばやってる事はイメージしやすくはなるでしょう。

この回答へのお礼

そんなことしていいのかと思いましたが、波数空間全域で積分するので波数空間は位置座標空間と独立にとれるわけですね。やっと理解できました。

お礼日時：2022/07/02 13:24