電気回路の複素表示について質問です。

電気回路の問題で、例えば「電圧がv＝2+ｊ3」と与えられている場合、この絶対値｜v｜＝sqrt(2^2+3^2)は［瞬時値の最大値]でしょうか、それとも[実効値]なのでしょうか？宜しくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： underhander 回答日時： 2003/08/05 13:44

交流を表すときは

　v=|v|cos(ωt+φ)
　 =|v|cos(2πft+φ)

などで表すことができますが、このままでは計算をすることが困難です。具体的には回路の計算などではコンデンサやコイルなどの存在により微分方程式を解くことが多くなります。そのために微分方程式を解きやすくするため、

　v=|v|exp{j(ωt+φ)}
　 =|v|cos(ωt+φ)+j|v|sin(ωt+φ)

などとおいて微分方程式を解き、最後に実数部分をとるといったことをします。そのために複素数にしているわけです。

つまり、電圧は|v|を最大として振動しており、|v|は「瞬時の最大値」ということになります。

No.9 回答者： wan_wan 回答日時： 2003/08/17 01:35

ベクトルは、実効値で書き、複素数表示の絶対値は、最大値で表すのが正解と思います。

ただ、右にサインカーブを書き、左にベクトルを書く場合のベクトルは、最大値で書くと思います。

No.8 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/08/06 22:35

No.2、No.4のymmasayanです。

回答を修正します。
答えは「ベクトルの絶対値は最大値を表すこともあり、実効値を表すこともある」です。
大昔のことを思い出してきました。
確かに基本的な正弦波の説明のところはベクトルは最大値でしたが、
回路理論、電力計算、インピーダンス計算などは全部ベクトルは実効値でした。
考えてみれば、どちらであっても一貫してれば、つじつまは合うのですよね。

本題に戻って、この質問の場合、電気回路ですので実効値であると判断したいと思います。
混乱させて申し訳ありませんでした。

この回答へのお礼

大変有難う御座います。よく分かりました。

お礼日時：2003/08/15 10:10

No.7 回答者： xdot 回答日時： 2003/08/06 22:05

ＮＯ．３です。

私が持っている回路理論の本を見てみました（日新出版：回路理論の基礎、元電気学会会長が著者）。

そのテキストでは、[実行値]の方で書いてありました。
（P.17,18あたり）

それに自分が思うに、ベクトル図に書くときは実行値の
方で書く気がしますのでやはり複素数表示は実行値だと
思いますよ。

No.6 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/08/05 23:08

No.1のunderhanderさん、N0.2のymmasayanさんのおっしゃる通り、私も［瞬時値の最大値]と思いますよ。

ある瞬間の(時刻の)電圧v＝2+ｊ3 を複素平面状にプロットし、これを極形式で書くと
ｖ＝ｒ(cosθ＋ｊsinθ）
＝sqrt(2^2+3^2)（cosθ＋ｊsinθ）
＝sqrt(2^2+3^2)exp(jθ) (1)
となります。ここでθは時間の関数となります。上の様に、瞬間での電圧でなく、時間の関数として電圧を捉えますと、交流の場合θ＝ωtと書かれます。すると(1)式はこれはまさにunderhanderさんの書かれた(2)式と同一のものとなります（位相φは初期条件で決まりますからこの際考慮外とします）。
v=|v|exp{j(ωt+φ)} (2)
あとは、No.2のymmasayanさんのご指摘とおリで、
> このベクトルが回転することによって正弦波を描き、そ
> の波形から交流の実効値や平均値が計算されます。
と思いますが、いかがでしょうか。
ちなみに実効値は「交流に瞬時値の2乗を1周期にわたって平均した値の平方根」として定義されており、
Vrms＝1/(√2)｜Vmax｜ (3)
と書かれます。

No.5 回答者： underhander 回答日時： 2003/08/05 22:57

No.1です。

No.3さんのような書き方が一般的であるかどうかは知りませんが、その記述の仕方はsqrt(2)をくくり出して実効値を明確に示そうとする方法ですね。

つまり一般的な記述の仕方はともかくとして、ここの質問では|v|は単にvの絶対値を表していて、それは瞬時の最大値になりますよね。

No.3さんが示した式は、それをsqrt(2)で割れば実効値になるということですよね。

No.4 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/08/05 22:12

No.2のymmasayanです。

NO.3に補足します。

＞v=sqrt(2)×|v|cos(ωt+φ) と書きませんか？
＞基本的に｜v｜と書くときは実行値だと思います。

まだ、基本ベクトルの話をしているときにsqrt(2)や実効値の話が出てくるのは
ちょっと性急ではないですか。

べくとるを回転させてから実効値の話が出てくるんではないでしょうか。

No.3 回答者： xdot 回答日時： 2003/08/05 21:45

間違ってたらすみません。

私は、実行値だと思います。

ＮＯ１さんは、v=|v|cos(ωt+φ) と書いていますが、
v=sqrt(2)×|v|cos(ωt+φ) と書きませんか？
そうなれば当然｜v｜は実行値になると思います。
基本的に｜v｜と書くときは実行値だと思います。
最大値のときは｜Vmax｜とか書くと思います。

No.2 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/08/05 14:39

おっしゃる通り［瞬時値の最大値]です。

このベクトルが回転することによって正弦波を描き、その波形から交流の実効値や平均値が計算されます。