微分方程式 y'+(e^x)(y^3)-y/x＝0 の解き方について

微分方程式　y'+(e^x)(y^3)-y/x＝0 の解き方が分かりません。
わかりやすく教えていただける方を募集しています。
よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/17 21:44

今回の３問の中では、一番面倒くさいかな。

与式は、 x(1/y^3)y' - (1/y^2) = -x(e^x) と変形できる。
この左辺の形に注目して z = -1/y^2 で変換すれば、
x(1/2)z’ + z = -x e^x.
更に t = x/2 で変換すれば、
tz’ + 1z = -2t e^(2t).
両辺を t で積分すれば、
tz = -2∫{ t e^(2t) }dt = -2(2t - 1)e^(2t) + C　{Cは定数}
と解ける。
整理すれば、
y = ±√( t/{ (4t - 2)e^(2t) - C } ).　{Cは定数であり、±と共に初期条件で定まる}

この回答へのお礼

回答ありがとうございますm(_ _)m
x(1/y^3)y'を z=-1/y^2 にした時の
x(1/2)z' への変形法が分からないので教えて頂きたいです。
あと、tz＝積分のところで、=-1/2(2t-1)e^(2t)+cになると思うのですが、、

お礼日時：2020/07/18 23:44

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/17 22:02

y'=dy/dxとすると、与式は、

dy/dx + (e^x)(y^3) - y/x＝0

となる。

u=y/xとすると、
du/dx=(dy/dx)(1/x) - y/x^2
=(dy/dx)(1/x) - (y/x)(1/x)
=(dy/dx)(1/x) - u(1/x)
x(du/dx)=dy/dx - u
dy/dx=u+x(du/dx)

与式に代入すると、
u+x(du/dx) + (e^x)(ux)^3 - u=0
x(du/dx) + (e^x)(ux)^3=0
du/dx + (e^x)(u^3)(x^2)=0
du/dx=-(e^x)(u^3)(x^2)
-∫(1/u^3) du=∫(e^x)(x^2) dx
1/(2u^2)=(e^x)(x^2) - 2∫(e^x)x dx
=(e^x)(x^2) - 2(e^x)x + 2∫(e^x) dx
=(e^x)(x^2) - 2(e^x)x + 2(e^x) + C'
=(e^x)(x^2 - 2x + 2) + C'

x^2/(2y^2)=(e^x)(x^2 - 2x + 2) + C'
y^2=x^2/(2(e^x)(x^2 - 2x + 2) + C)
C=2C'：積分定数

この回答へのお礼

回答ありがとうございますm(_ _)m
du/dy=1/x - y/x^2 だということは計算できたのですが、そうなるとdu/dx=(dy/dx){(1/x)-u(1/x)}となると思うのですが、、

お礼日時：2020/07/18 23:51