初等的な、基底の定義を、厳密に書きました 合ってますか？

初等的な、基底の定義を、厳密に書きました
合ってますか？

質問者からの補足コメント

• 無限の場合は考えていません。

    補足日時：2020/07/25 13:44

• 文字が消えてしまっていましたが、W^i⊂Vとします。
  (部分集合でない場合、つまり、W^iの方が次元が小さい場合は、部分集合と見做します。)

    補足日時：2020/07/25 13:45

• そうでした。W^iは基底ではないです。
  
  (w_1,w_2,…,w_i)∈W^iが基底です。

    補足日時：2020/07/25 15:29

• W^i⊂Vとしています。

    補足日時：2020/07/25 17:14

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 20:28

その基底の定義は間違いです

正しい基底の定義は以下の通りです

Vを体R上のベクトル空間とする

{w_1,…,w_n}⊂VがVの基底
↑
↓
[
∀{a_1,…,a_n}⊂R,Σ_{k=1～n}(a_k)(w_k)=0→a_1=…=a_n=0
]
Λ
[
∀v∈V→∃{a_1,…,a_n}⊂R[v=Σ_{k=1～n}(a_k)(w_k)]
]
↓
n=dim(V)

この回答へのお礼

いつもありがとうございますm(_ _)m

お礼日時：2020/07/26 01:11

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 20:16

Σ_{k=1～i}(a_k)(w_k)=0→a_1=…=a_n=0

と書いてあるのだから
w_1,w_2,…,w_i
は
いずれもVの要素でなければいけません
そして
{w_1,w_2,…,w_i}
が1組の基底でなければなりません
{w_1,w_2,…,w_i}⊂V
はVの部分集合でなければなりません
だから

(w_1,w_2,…,w_i)∈W^i
などとは書いてはいけません間違いです

{(1,0),(0,1)}
は
R^2の基底であるけれども

((1,0),(0,1))∈R^2ではありません間違いです

あくまで

{(1,0),(0,1)}⊂R^2
なのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 16:21

(w_1,w_2,…,w_i)∈W^i

という事は

w_1∈W
w_2∈W
…
w_i∈W

は

Wの要素であって
Vの要素ではないので

Vの基底ではありません

基底とは何かわかっていないようなので
基底の例をあげます

例)
{(1,0),(0,1)}⊂R^2
は
R^2の標準基底である

{(1,1),(-1,1)}⊂R^2
も
R^2の基底である

{(1,0),(1,1)}⊂R^2
も
R^2の基底である

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⊂R^3
は
R^3の標準基底である

{(1,1,1),(1,-1,0),(1,1,-2)}⊂R^3
も
R^3の基底である

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 14:52

V⊂VがVの基底というのが意味不明

W^i⊂VがVの基底
W^iがVの基底だというのならそれは間違いです
基底の要素数を次元というのだから
もしW^iが基底だとするなら
W^iの要素数は無限なので∞次元になってしまうし
W^iの要素どうしはほとんど線形独立ではないので
W^iは基底ではありません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 11:43

Vを体R上のベクトル空間とする

B⊂VがVの基底
↑
↓
[
∀{w_1,…,w_n}⊂B,∀{a_1,…,a_n}⊂R,Σ_{k=1～n}(a_k)(w_k)=0→a_1=…=a_n=0
]
Λ
[
∀v∈V→∃{w_1,…,w_n}⊂B,∃{a_1,…,a_n}⊂R[v=Σ_{k=1～n}(a_k)(w_k)]
]

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/25 09:55

ベクトル空間

V
と
W^i=W×…×W
との
関係が
V=W^i
なのか
W^i⊂V
なのか
未定義で意味不明
次元が∞の場合が未定義