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条件g(x,y)=x^2+2y^2-1=0の下でf(x,y)=x^2+xy+y^2の最大値、最小値を求めよ。
ラグランジュの未定乗数法を用いること。

わかる方解説お願いします。

質問者からの補足コメント

  • 計算したら(b)の式が2x+y-4yλ=0になりました。

      補足日時:2020/07/27 01:09

A 回答 (5件)

あぁ、また間違えた。

orz

よって、f(x,y)=x^2 + xy + y^2の最大値は3/2、最小値は-1/2となる。
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再計算。


っていってもNo.3と同じく極座標を使うんだけど。

3変数のラグランジュ関数Lは
L(x, y, λ)=x^2 + xy + y^2 - λ(x^2 + 2y^2 - 1)
∂L/∂x=2x + y - 2λx=0 …(a)
∂L/∂y=x + 2y - 4λy=0 …(b)
∂L/∂λ=-x^2 - 2y^2 + 1=0 …(c)

(a), (b)からλを消去すると、
4xy + 2y^2 - x^2 - 2xy=0
2y^2 - x^2 + 2xy=0
xy=(x^2 - 2y^2)/2 …(d)

(c)より、x=cosθ, y=(1/√2)sinθとし、(d)に代入すると、
xy=((cosθ)^2 - (sinθ)^2)/2

x^2+xy+y^2=(cosθ)^2 + ((cosθ)^2 - (sinθ)^2)/2 + (1/2)(sinθ)^2
=(3/2)(cosθ)^2 - (1/2)(sinθ)^2
=(3/2)(1/2)(1+cos2θ) - (1/2)(1/2)(1-cos2θ)
=(3/4) + (3/4)cos2θ - (1/4) + (1/4)cos2θ
=(1/2) + cos2θ

よって、f(x,y)=x^2 + xy + y^2の最大値は1/2、最小値は-1/2となる。
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この問題をラグランジュ法で?


高校生の練習問題だけど...

制約条件 g(x,y) = 0 は、 x^2 + y^2/(1/√2)^2 = 1 と書けるから
x = cosθ, y = (1/√2)sinθ と媒介変数表示できる。 これを代入して、
f(x,y) = (cosθ)^2 + (1/√2)(cosθ)(sinθ) + (1/2)(sinθ)^2
= (1 - 1/2){ 1 + cos(2θ) }/2 + (1/√2)(sin2θ)/2 + (1/2)
= (1/4)cos(2θ) + (√2/4)(sin2θ) + (1/2 + 1/4)
= (3/4) + (√3/4)sin(2θ+α)  ; ただし、 sinα = 1/√3, cosα = √2/√3.

最大値は 3/4 + √3/4,
最小値は 3/4 - √3/4.
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>計算したら(b)の式が2x+y-4yλ=0になりました。



ごめん、(b)の計算間違えた。
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問題の指示の通り、ラグランジュの未定乗数法を用いると良い。



3変数のラグランジュ関数 Lは
L(x, y, λ)=x^2 + xy + y^2 - λ(x^2 + 2y^2 - 1)
∂L/∂x=2x + y - 2λx=0 …(a)
∂L/∂y=x + 2y - 2λy=0 …(b)
∂L/∂λ=-x^2 - 2y^2 + 1=0 …(c)

(a), (b)からλを消去すると、
2xy + y^2 - x^2 - 2xy=0
-x^2 + y^2=0 …(d)

(d)-(c)より、
3y^2 - 1=0
y=±1/√3
x=±1/√3
(x, y)=(1/√3, 1/√3), (1/√3, -1/√3), (-1/√3, 1/√3), (-1/√3, -1/√3)
x^2 + y^2=(1/3)+(1/3)=2/3
xy=±1/3

よって、f(x,y)=x^2 + xy + y^2の最大値は2/3+1/3=1、最小値は2/3-1/3=1/3となる。
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