幾何学の問題です。 任意の四角形があり、四角形の各辺に対して中点を取りその中点を結ぶと平行四辺形にな

幾何学の問題です。

任意の四角形があり、四角形の各辺に対して中点を取りその中点を結ぶと平行四辺形になる証明の問題

があるのですかどのように証明すればいいのでしょうか。中点連結定理の1/2を使った証明は分かるのですが学校の冊子にそのような情報は載ってなくこの方法を使うと不正解になりますので他の方法がもしあればどなたか教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/07/28 10:00

四角形ABCDで辺AB、辺BC、辺CD、辺DAの中点をP、Q、R、Sとします。

四角形PQRSにおいて
△ABDで仮定より中点連結定理から
PS//BD　　　　　　　　　　 ①
△CBDで仮定より中点連結定理から
QR//BD　　　　　　　　　　 ②
①、②より　PS//QR　　　③
△BACで仮定より中点連結定理から
PQ//AC　　　　　　　　　　 ④
△DACで仮定より中点連結定理から
SR//AC　　　　　　　　　　 ⑤
④、⑤より　PS//QR　　　⑥
③、⑥より2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形なので、四角形PRQSは平行四辺形。


中点連結定理で1/2が使えないのなら使えるようにしてしてあげればいいです。

四角形PQRSにおいて
△APSと△ABDで
仮定よりAP：AB=AS：AD=1：2　　　①
∠A共通より、∠PAS=∠BAD　　　②
①②より2組の辺の比が等しく、その間の角が等しいので
△APS∽△ABD
よってPS：BD=1：2　　　
　　　　PS=1/2BD　　　　　　　　　　③
∠APS=∠ABDより同位角が等しいので
PS//BD　　　　　　　　　　　　　　　　④
同様に△CQR∽△CBDより
QR：BD=1：2　　　　　　　
　　　QR=1/2BD　　　　　　　　　　　⑤
QR//BD　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥
③⑤より　PS=QR　　　　　　　　　　⑦
④⑥より　PS//QR　　　　　　　　　⑧
⑦⑧より1組の向かい合う辺が等しくて平行なので、四角形PQRSは平行四辺形。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/28 00:22

「向かいあう辺がそれぞれ平行」なら「中点連結定理の1/2を使った証明」までいかないんじゃない?