広義積分∫ 【０→１】x＾２ log|x|dxについて

∫ 【０→１】x＾２ log|x|dx=[x³/3・logx][0→1] -∫[0→1]x²/3dx
=[-x³/9][0→1]
=-1/9 となるのですが

[-x³/9][0→1]はどうやって導くのですか

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/08/04 15:57

何が判らないのか判らないが、こういうこと。

第1項　[x³/3・logx][0→1] に関しては、広義積分の定義どおり、lim[x→0+0]x³log(x)を求めれば、0になる。

第2項　∫[0→1]x²/3dxに関しては、高校レベルの超初歩的な積分だから、できない方がおかしい。まさか、x²の積分が(1/3)x³になるのが判らないなんてことはないよね？
もし判らないのなら、広義積分なんてやっているヒマはない。ただちに広義積分の勉強はやめて、高校の数Ⅱを復習すべき。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/08/04 15:11

部分積分法。

右辺第一項の[x³/3・logx][0→1]は0に等しい。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/04 14:54

定義に従って計算すれば導けると思います

でもいちいちそんなことをする人は少ないでしょうね
x³の微分は3x²ですから
積分は微分の逆操作と考えれば
∫3x²dx=x³（積分定数省略）です
ということは
x²の積分は両辺
(1/3）倍で
∫x²dx=(1/3)∫3x²dx=x³/3ですよね
ということはさらに1/3倍で
x²/3の積分は
∫x²/3dx=(1/3)∫x²dx=(1/3)・x³/3=x³/9

これが理解できたら次からは(1/3)∫x²dxの積分ととらえて　
微分⇔積分　の関係から
∫x²dx=x³/3であることに気が付けるようにして　これを利用して∫[0→1]x²/3dxの積分計算です