ベクトル場 面積

xy平面上の曲線C:r=√cos(2θ)(-π/4≦θ≦π/4)とベクトル場u=(xーy,x+y)について、∫_C u・drを求めよ。という問題の答えが1度出たのですが自身がないので合っているかどうかの確認をお願いしたいです！
答えは1と出ました。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/08 22:47

曲線Cは閉曲線となるから、ストークスの定理より

∫_C u・dr=∫[S]rot u・ndS

ところが　rot u=<0,0,2> , n=ez だから、
∫[S]rot u・ndS=2∫[S]dS
ここで、∫[S]dSはCの面積だから

2∫[S]dS=2∫[θ=-π/4→π/4] r²/2dθ=∫[θ=-π/4→π/4] cos(2θ)dθ=[sin(2θ)/2] [θ=π/4,-π/4]
={1-(-1)}/2=1