
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2の途中式を省くと
(1-x)S={1+2x-{(1+3n)x^n}+(3n-2)x^[n+1]}/(1-x)
⇔(1-x)S={1+2x-{(1+3n)x^n}+(3n-2)x^[n+1]}・{1/(1-x)}
この式の両辺を1/(1-x)倍 (すなわち(1-x)で割り算)すると
S={1+2x-{(1+3n)x^n}+(3n-2)x^[n+1]}・{1/(1-x)}・{1/(1-x)}
={1+2x-{(1+3n)x^n}+(3n-2)x^[n+1]}・{1/(1-x)}²
=[1+2x-{(1+3n)x^n}+(3n-2)x^[n+1]/(1-x)}²]
No.2
- 回答日時:
S=1+4x+7x^2+10x^3+……+(3n-2)x^n-1
x=1のときは
S=1+4+7+10+・・・+(3n-2)で 初項1、末項3n-2 項数nの等差数列だから
等差数列の和の公式利用で
S=(1/2)n{1+(3n-2)}=(1/2)n(3n-1)
x≠1のとき 公差もどきのxを見て
S=1+4x+7x^2+10x^3+……+(3n-2)x^n-1 これの両辺をx倍
XS= X +4x² + 7x³+・・・+(3n-5)x^n-1+(3n-2)x^n
辺々引き算して
(1-x)S=1+3(x+x²+x³+・・・+x^n-1)-(3n-2)x^n
x+x²+x³+・・・+x^n-1部分は、初項x、公比x、項数n-1の等比数列の和なんで 公式により
x+x²+x³+・・・+x^n-1=x(1-x^[n-1])/(1-x)
ゆえに
(1-x)S=1+3(x+x²+x³+・・・+x^n-1)-(3n-2)x^n
=1+{3x(1-x^[n-1])/(1-x)}-{(3n-2)x^n}
={(1-x)+3x-3x^n-(3n-2)(1-x)x^n}/(1-x) ←←←通分
={1+2x-3x^n-(3n-3nx-2+2x)x^n}/(1-x)
={1+2x-(3+3n-3nx-2+2x)x^n}/(1-x) ←←← -3x^n-(3n-3nx-2+2x)x^n部分をx^nでくくりだした
={1+2x-(1+3n-3nx+2x)x^n}/(1-x)
=[1+2x-{(1+3n)x^n}+(3n-2)x^[n+1]}/(1-x)
1-x=0のとき 0で割り算はできないから この式の両辺を1-xで割り算してはいけない・・・出だしに戻って等差数列の和となる
1-x≠0(⇔x≠1)として両辺(1-x)で割り算すると模範解答の形になる
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ごめんなさい
1+3×(1-x)/1-x-(3-2)x^n
ではなく、
1+3x(1-x^n-1)/1-x-(3n-2)x^n
でした
すみません
最後の 1-x≠0(⇔x≠1)として両辺(1-x)で割り算すると模範解答の形になる
というところがよくわかりませんでした
割り算しても分母の1-xが2乗になってくれないです