どうしてC=π/3のとき最大値1/8をとるから不等式が成り立つことがわかるんですか？ ちなみに等号が

どうしてC=π/3のとき最大値1/8をとるから不等式が成り立つことがわかるんですか？
ちなみに等号が成り立つときの解答は写ってません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/17 04:29

「最大値」って, どういうものだと思う?

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/17 09:07

まず、(2)の2行目に、

sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦(1/2)(1-sin(C/2))sin(C/2)

という不等式が書かれている。
(2)の1行目に書いてある通り、sin(C/2)=tとして、不等式の右式を変形すると、

(1/2)(1-sin(C/2))sin(C/2)=(1/2)(1-t)t=(1/2)(t - t^2)=(-1/2)(t^2 - t)=(-1/2)(t - (1/2))^2 + 1/8

となる。よって、

sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦(-1/2)(t - (1/2)^2 + 1/8

となる。
tは(2)の1行目に書いてある通り、0<t<1の定義域を持つ。

(-1/2)(t - (1/2)^2 + 1/8は上に凸の2次関数なので、t=1/2のとき最大値1/8になる。
t=1/2は0<t<1の定義域の中にあるので、最大値1/8は成立する。

このときのCの値は、sin(C/2)=tより、sin(C/2)=1/2とすると、

C/2=π/6
C=π/3

となる。

以上より、sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦1/8となる。

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2020/08/17 14:26

2次関数 y = a(t-p)^2 +q は、

a<0 のとき、上に凸の放物線になります。
点(p,q) が頂点で、この位置で最大値をとります。この例では、tの定義域内（0<t<1）に頂点（1/2,1/8）があるので、頂点で最大値を取れます。
t=1/2
→ sin (Ｃ/2)=1/2
→ Ｃ/2=π/6 （0< C/2 <π/2）
→ C= π/3