数Ⅱ 複素数と方程式 問 2次方程式x²+αx+b=0が2+3iを解にもつとき,実数の定数α,b値と

数Ⅱ 複素数と方程式

問 2次方程式x²+αx+b=0が2+3iを解にもつとき,実数の定数α,b値と他の解を求めよ。


2+3iが解であるからこれと共役な複素数2-3iも解である。とかいているのですがなぜそうなるのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/03 00:14

実係数方程式 x²+αx+b = 0 が解 x = u+vi (u,vは実数) を解に持つとすれば、

代入して
(u+vi)²+α(u+vi)+b = (u^2-v^2+αu+b) + v(2u+α)i = 0 です。
この式の実部,虚部を考えると、
(u^2-v^2+αu+b) = v(2u+α) = 0 であることが判ります。
これが成立するとき、
(u-vi)²+α(u-vi)+b = (u^2-v^2+αu+b) - v(2u+α)i より
(u-vi)²+α(u-vi)+b = 0 となります。

この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございます^^*助かりました。回答して下さった方々の中でも1番分かりやすかったのでベストアンサーに選ばさせてもらいます！

お礼日時：2020/09/04 21:58

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/09/03 12:30

実数係数の方程式

a(n)・x^n+a(n-1)・x^(n-1)+a(n-2)・x^(n-2)+...+a(1)・x+a(0)=0
が複素数解x=αを持つときαの複素共役α*も上記の方程式の解となります。

上記の方程式がx=αを解として持つことから
a(n)・α^n+a(n-1)・α^(n-1)+a(n-2)・α^(n-2)+...+a(1)・α+a(0)=0　(1)
が成り立ちます。(1)の両辺の複素共役を取ると

{a(n)・α^n+a(n-1)・α^(n-1)+a(n-2)・α^(n-2)+...+a(1)・α+a(0)}*=0*=0 (2)
となります。

(2)の左辺を変形していきます。
任意の二つの複素数αとβについて、以下の関係が必ず成り立ちます。
(α+β)*=α* + β*
(αβ)*=(α*)(β*)

2番目の式のβにαを代入しても成り立つことから
(α^2)*=(α*)^2
これを繰り返すことで
(α^n)*=(α*)^n
が任意の複素数αと整数nについてなり立ちます。

以上このことから(2)は
{a(n)}*・(α*)^n+{a(n-1)}*・(α*)^(n-1)+{a(n-2)}*・(α*)^(n-2)+...+{a(1)}*・α*+a(0)*=0
となります。
a(n),a(n-1),a(n-2),...,a(1),a(0)は全て実数ですからa(n)*=a(n),a(n-1)*=a(n-1),...が成り立ちますので
a(n)・(α*)^n+a(n-1)・(α*)^(n-1)+a(n-2)・(α*)^(n-2)+...+a(1)・α*+a(0)=0 (3)
が成り立ります。

(3)式は元の方程式のx=α*を代入した式となります。つまり、x=α*は元の方程式の解、ということになります。

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます☺︎
助かりました！

お礼日時：2020/09/04 21:59

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/09/03 11:17

x^2+ax+b=0

の2つの解をα,βとすると
x^2+ax+b=(x-α)(x-β)
(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ
x^2+ax+b=x^2-(α+β)x+αβ
だから
α+β=-a
αβ=b
となる

α=2+3i

としてこれをα+β=-aに代入すると

2+3i+β=-a
↓両辺に-2-3iを加えると
β=-a-2-3i

α=2+3iをαβ=bに代入すると

(2+3i)β=b
β=b/(2+3i)
β=(2-3i)b/{(2+3i)(2-3i)}
β=(2-3i)b/13

これとβ=-a-2-3iから

(2-3i)b/13=-a-2-3i
2b/13-3ib/13=-a-2-3i
↓両辺の虚数部は等しいから
-3ib/13=-3i
↓両辺に13i/3をかけると
b=13
↓これをβ=(2-3i)b/13に代入すると
∴
β=2-3i

この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございます！
助かりました^^*

お礼日時：2020/09/04 21:59

No.2 回答者： ヒロト。。 回答日時： 2020/09/02 20:55

解の公式を思い出してください。

分子に±がありますよね。2-3iというのは±の部分がマイナスの時です。ですのでプラスも必ずあります。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/09/02 20:52

解の公式を思い出すこと。

y=ax^2+bx+c　について
x=(-b±√(b^2-4ab)/2a　←　虚部と成りうるのは√の部分です。