素因数分解の問題について教えてください

ワークの問題なのですが、

問題)
√28n/3 が自然数になるような、
もっとも小さい自然数nの値を求めなさい。

解説)
28n/3 = 2^2×7×n/3 だから、
n=3×7 ならば、
28n/3 はある自然数の２乗になる。
したがって、n=3×7=21

と書いてありました。
2^2×7×n/3 の n に
3×7 を代入してみると 14^2 になり、
28n/3 が自然数の２乗になる
ということは理解できたのですが、
なぜ 3×7 が出てきたのか
さっぱり分かりません、、、

これ以上詳しい解説は載っておらず、
悩んでいます。
なぜnに3×7を当てはめるのか
教えてください。

質問者からの補足コメント

• 大切なお時間を割いていただき
  ありがとうございますm(__)m
  
  教えていただいたこちらの部分なのですが、
  
  「2^2×7^2×3^2=(2×7×3)^2
  2^2×7^2×3^2×5^2=(2×7×3×5)^2
  ……」
  
  3^2や5^2は問題とは関係なく、
  ランダムに示されたものですか？
  よろしければ教えてください。
  理解力がなく申し訳ないです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/04 07:30

• 「この回答へのお礼」
  の欄に「助かりました」や「助かります」と
  書いてしまいました。
  感謝の気持ちをお伝えしたかったのですが、
  不適切な言葉遣いになってしまいました。
  回答してくださった方に対して
  失礼な表現だったと反省しております。
  申し訳ありません。

    補足日時：2020/09/04 22:02

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/04 11:33

ルートの中に整数のペアができると　その数はルートの外へ出せますよね

ということで　ペアを探します
しかし、今回はルートの中が分数ですよね　
ルートの中が分数になっていればどんなにあがいてnにいろいろな整数を当てはめてみても、√(28n/3)が自然数になることはありません！
例えば　√(25/3)を考えてみると　25=5x5で５のペアができるのでこれは√の外へ出せます
よって　√(25/3)=√(5x5/3)=5√(1/3) ですが　分数はどうしてもルートの中に残ってしまい√(25/3)が自然数になることはないのです
そこで　まずは約分をして分数を解消することを試みます
28n/3=2x2x7xn/3ですから
2や7と分母３の約分は不可能です
ということはnと3で約分するしかありません！
ということで　nは３の倍数であることが必須だとわかります
nは３の倍数　とわかったことで、分母３との約分については一応解決したので
次にルートの中の数字のペアの様子を見ます
2ふたつはすでにペアとなっています
しかし7とnは現状ペアではありません
ということは　７とペアを作るために　n=7x●という形の式であることも必須であることがわかります（つまりnは7の倍数であることが必須）
ここまでで、条件２つがそろいました
2つの条件とは「nは３の倍数であり、７の倍数でもあることが必須」
この条件にあてはまるためには　nは3と7の公倍数
n=21,42,63,84・・・であることが必要となります
ゆえに小さいほうから順に確かめてみて　n=21(n=3x7)だとすると√(28n/3)が自然数になることが確かめられますから
答えはn=3x7=21だとわかるのです
（ちなみに　n=42=2x3x7 だと今度はペアになれない2ができてしまうので不適切
n=63=3x3x7だと　ペアになれない3ができてしまうので不適切
n=84=2x2x3x7は　√の中がすべてペアになるので√(28n/3)が自然数にはなるが、n=84は最小ではないので不適切
以上の観点からｎ=21が適切だと言えます）

この回答へのお礼

思わず、なるほど～～！！と
口に出してしまいました…
masterkoto様の言葉選びがお優しくて、
とても分かりやすかったです！！！

なぜ n=42 や n=63 だと不適切なのかなど
さらに詳しいところまで教えていただき、
丁寧な解説をありがとうございます。
こちらのご回答をワークに
載せさせていただきたいくらいです、、

もやもやがぱっと晴れました！
貴重なお時間を割いていただき
ありがとうございました！！m(__)m

お礼日時：2020/09/04 21:30

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/04 09:16

混乱させてしまったようですいません。

ランダムに示したものです。
最も小さい自然数ｎという条件がなければ、
n=3×7×3^2 のとき、28n/3 = 2^2×7×n/3 =2^2×7×(3×7×3^2)/3 =2^2×7^2×3^2=(2×3×7)^2
n=3×7×3^2×5^2 のとき、28n/3 = 2^2×7×n/3 =2^2×7×(3×7×3^2×5^2)/3 =2^2×7^2×3^2×5^2=(2×3×5×7)^2

よって、√(28n/3) は自然数になります。

この回答へのお礼

すぐ（これはなんの数字なんだ？？）と
頭がこんがらがってしまうので、
私に問題があるんです汗
すいませんと書かせてしまって、
こちらこそすみません、、！！

回答者様が
ランダムに示されたものだったのですね！
重ね重ねの質問にも
細かく解説していただき、
本当にありがとうございます！！

お礼日時：2020/09/04 21:05

No.3 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/04 09:16

√(28n/3)　　　√28を簡単にします。

√28=2√7
√(28n/3)=2√(7n/3)
n=3のとき分母の3と約分できて、分母の3がなくなります。
n=7のとき平方根の中に7の2乗ができるので7が平方根の外に出ることができます。
これよりnは3であって7であれば平方根がなくなります。
n=3×7
2√(7n/3)
=2√(7×7×3/3)
=2×7
=14
自然数になります。
n=21

2√(7n/3)　から分母を有理化する方法もあります。
2√(7n/3)
=2√(7n)/√3　　　分母分子に√3をかけて分母を有理化します。
=2√(7n)×√3/(√3×√3)
=2√(7×3n)/3
=2√(21n)/3
n=21のとき21が2乗になるので平方根が外れます
=2√(21×21)/3
=2×21/3
=14
でn=21のとき自然数になります。

この回答へのお礼

２つも解き方を教えてくださり、
本当に勉強になります。
内容が分かりやすいうえ、
=を揃えてくださっているところなど、
細やかな気遣いがありがたいです、、、！！

分母を有理化する方法を初めて知りました！
同じような問題に出会った際、活用いたします。

模範解答を見てもわからず
自分が情けなくてもやもやしていたのですが、
ginga_kuma様のご回答で
すっきり理解することができました！！！
丁寧な回答を本当にありがとうございました！！！
m(__)m

お礼日時：2020/09/04 21:51

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/09/04 05:58

m=√(28n/3)とする

↓両辺を2乗すると
m^2=28n/3
↓両辺に3をかけると
3m^2=28n…(1)

左辺が3の倍数だから
右辺も3の倍数だから
28は3の倍数でないから
nが3の倍数となるから
n=3k…(2)
となる自然数kがある
これを(1)に代入すると

3m^2=28×3k
↓両辺を3で割ると
m^2=28k
m^2=4×7k…(3)

右辺が7の倍数だから
左辺も7の倍数だから
m=7j
となる自然数jがある
これを(3)に代入すると

(7j)^2=4×7k
7^2j^2=4×7k
↓両辺を7で割ると
7j^2=4k

左辺が7の倍数だから
右辺も7の倍数
4は7の倍数でないから
kが7の倍数となるから
k=7L
となる自然数Lがある
これを(2)に代入すると

n=3×7L

もっとも小さい自然数nの値を求めるのだから
L=1とすると

n=3×7

この回答へのお礼

こういった解き方があることを
初めて知ることができました。
今後に生かしていきます！！！

分からずに悩んでいたところを
詳しく解説してくださり
とても助かりましたm(__)m

分かりやすく丁寧な回答を
ありがとうございました！！！

お礼日時：2020/09/04 07:12

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/04 05:41

√(28n/3) が自然数になるということは、28n/3 が自然数の２乗になるということです。

28n/3=(2^2×7×n)/3 が自然数の2乗になるということは、分母の３が消えるということと７がもう
１つ必要です。

n=3×7 とすると、28n/3=(2^2×7×n)/3 =(2^2×7×3×7)/3 =2^2×7^2=(2×7)^2=14^2

2^2×7^2のように自然数の２乗の積の形になれば14^2のように自然数の2乗になります。

2^2×7^2×3^2=(2×7×3)^2
2^2×7^2×3^2×5^2=(2×7×3×5)^2
……

これらの数はすべて自然数の2乗になりますが、もっとも小さい自然数ｎということなので、n=3×7=21です。

この回答へのお礼

ひとつひとつ噛み砕いて
教えてくださり、とても助かります。

回答してくださったものに
また質問を重ねてしまって、
申し訳ありませんでした。
そちらにも丁寧に解説してくださり、
感謝でいっぱいです！！！

この問題にはとても悩まされて
もやもやしていたので、すっきりしました！
ありがとうございました！！m(__)m

お礼日時：2020/09/04 21:14