【数学Ⅲ/積分の計算】 Ｑ．積分初学者です。 先日、 ∫[0→½—] 1/√(1－x²) dx の計

【数学Ⅲ/積分の計算】
Ｑ．積分初学者です。
　　先日、
　　　∫[0→½—] 1/√(1－x²) dx
　　の計算を、三角関数を利用して解くといった授業を受け
　　たのですが、その際に、
　　　f(x)＝x/√(1－x²)
　　ならば難易度が低いと解説を受けました。
　　具体的にどのような解法で解けるから比較的簡単なのか
　　示していただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/22 13:59

f(x)=x/√(1 - x^2)でも置換積分を使うけど、三角関数は使わない。

t^2=1-x^2とすると、積分範囲は0～1/2から1～3/4に変わる。
2t(dt/dx)=2x
t dt= x dx

∫[0, 1/2] x/√(1 - x^2) dx
=∫[0, 1/2] (1/√(1 - x^2)) x dx

0≦x≦1/2の範囲では √(1 - x^2)>0 より、

=∫[1, 3/4] (1/t) t dt
=∫[1, 3/4] 1 dt
=∫[3/4, 1] -1 dt
=-t [3/4, 1]
=-1/4

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/22 13:58

この場合は√の中身をtに置き換えるという基本の「き」で解けるから簡単なのです

1-x²=tとおくと
-2xdx=dt
∫x/√(1－x²)dx=(-1/2)∫-2x/√(1－x²)dx
=∫dt/√t
=２√t＋C
=2√(1-x²)+C