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数学の線形写像の問題です。

v(1)=[1,1,2] v(2)=[-1,2,3] v(3)=[0,1,2]とする。以下の問いに答えてください。実際には縦向きの行列です。
(1)u=[x,y,z] ∈R^3をv(1),v(2),v(3)の1次結合として表してください。

(2)線激写像f:R^3→R^3を
f(v(1))=[1,1,1] f(v(2))=[1,2,1] f(v(3))=[1,-1,1]
で定義する、線形写像fの像Imfの次元を求め、その基底を1組求めてください。

(3)(2)で定義した線形写像fの核Kerfの次元を求め、その基底を1組求めてください。

A 回答 (2件)

今日は朝から、読まずに削除される質問祭りのようだ。


そういう日なのかな?

(1)
u = a v(1) + b v(2) + c v(3) を
a, b, c の連立方程式として解け。それだけ。
式を成分ごとにバラすと、
中学生でも解ける3元3連立一次方程式になる。
v(1), v(2), v(3) が一次独立なために、
連立一次方程式が解確定の場合になるから
処理も簡単。

(2)
f の表現行列を A,
v(1), v(2), v(3) を列として並べた行列を P,
f(v(1)), f(v(2)), f(v(3)) を列として並べた行列を Q
と置くと、 AP = Q が成り立つ。
A = Q(P^-1) を計算すればよい。

どうせここで P^-1 を使うから、
先に P^-1 を求めておくことにして
(1) も u = P [a,b,c] より [a,b,c] = (P^-1) [x,y,z]
としてもよかった。

(3)
一次方程式 Aw = 0 を解いて
実際に Ker f = { w | Aw=0 } を求めてしまえば、
次元も基底も一目瞭然になる。

こうして見ると、(1) を (2) へ寄せて P^-1 を使うより、
たった 3次元の問題であることを利用して
(2) も (3) も (1) へ寄せて P^-1 を求めずに
いちいち連立方程式を解くほうが簡便かなあ。
そう考えると、ちっとも線型代数じゃない嫌な問題だな。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2020/09/24 23:53

質問はなんですか?



と書いておくけど「線激写像」ってなんだろう. はじめて見たなぁ.
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この回答へのお礼

すみません、打ち間違いました。

お礼日時:2020/09/24 23:53

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