これって階差数列で求めていいんですか？

これって階差数列で求めていいんですか？

質問者からの補足コメント

• ピンクのラインが引いてあるところの漸化式はどうやって解くのですか？
  他のところは気にしないでください

    補足日時：2020/10/24 15:22

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/24 15:21

ごちゃごちゃで　何が何だかわからん。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/24 15:36

典型的な階差数列だね。

b[n+1]=b[n]+1+(1/2)n

b[n+1]-b[n]=(1/2)n+1

n≧2のとき：
b[n]=b[1] + Σ[k=1, n-1] (1/2)k+1
=b[1] + (1/4)n(n-1) + (n-1)
=b[1] + (n-1)((1/4)n + 1)
=b[1] + (1/4)(n-1)(n+4)

n=1のときも上記の式は成立する。よって、

b[n]=b[1] + (1/4)(n-1)(n+4)

初項は情報がないので分からない。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/25 11:16

両辺を n = 1 から n = k-1 まで Σ すると、

Σ[n=2..k]b(n) = Σ[n=1..k-1]b(n) + Σ[n=1..k-1]{ 1 + n/2 }
になって、Σ[n=2..k-1]b(n) が相殺できますね。
b(k) = b(1) + Σ[n=1..k-1]{ 1 + n/2 }
　　= b(1) + Σ[n=1..k-1]1 + (1/2)Σ[n=1..k-1]n
で b(k) が計算できます。
写真の答案で b(1) = 1 としている理由が判りませんが、
そこに切り取られてない部分にそうなる根拠があるのなら
それでいいでしょう。
b(k) = 1 + (k-1) + (1/2)・{ 1 + (k-1) }(k-1)/2
　　= (k^2 + 3k)/4
より
a(n) = (2^n)・b(n)
　　= (n^2 + 3n)2^(n-2)
になります。